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Nombres complexes DM
Bonjour, j'ai un exercice de dm sur les nombres complexes et j'aurais vraiment besoin de votre aide, s'il vous plaît... Il s'avère que j'ai quelques soucis.
Merci d'avance !
Voici l'exercice :
1) Cette application est-elle définie pour tout nombre complexe z 
?
2) On nomme le point A d'affixe 2-i et le point B d'affixe -2i.
Déterminer l'ensemble (D) des points M d'affixe z tels que |Z| = 1.
3) Si = x+ iy, x et y étant deux réels, montrer que Z= [x² + y² - 2x + 3y + 2 + i (- x + 2y + 4)]/[x² + (y + 2)²]
4) En déduire la na ture de :
a) l'ensemble E des points M d'affixe z tels que Z soit réel.
b) L'ensemble F des points M d'affixe z du plan, tels que Z soit un imaginaire pur.
c) L'ensemble G des points M d'affixe z du plan, tels que Re(Z) = Im(Z).
1) Je ne comprends pas...
2) Je ne vois pas comment faire...
3)
Z =( z - 2 + i)/(z+2i)
[(x + iy) - 2 + i]/[(x + iy) + 2i]
= ([(x - 2) + i(y + 1)][x - i(y + 2)])/([ x + i(y + 2)][x - i(y + 2)])
= [x² + y² - 2x + 3y + 2 + i (- x + 2y + 4)]/[x² + (y + 2)²]
2. a) Z réel ⇔ Im(Z) = 0 ⇔(- x + 2y + 4)/[x² + (y + 2)²] = 0 ⇔
- x + 2y + 4 = 0
x² + (y + 2)² ≠ 0
⇔
y = (1x/2)- 2
(x ; y) ≠ (0 ; - 2)
Donc (E) est la droite d'équation y = (1x/2)- 2, privée du point A(0 ; - 2)
b) Z est imaginaire pur si Re(Z) = 0
⇔
(x² + y² - 2x + 3y + 2)/[x² + (y + 2)² ]
⇔
x² + y² - 2x + 3y + 2 = 0
x² + (y + 2)² ≠ 0
On a donc :
(x - 1)² + (y + 3/2)² = 5/4
(x ; y) ≠ (0 ; - 2)
Ainsi (F) est le cercle de centre I(1 ; - 3/2) et de rayon r= 
5 / 2,
privé du point A (0 ; - 2)/
c)
(G) est le cercle de centre C (-3/2 ; -5/2) et de rayon r= 10/ 2.
bonjour
ben faudrait peut-être recopier ton énoncé si tu veux de l'aide, parce que là, il n'y a que les questions...
Pour le 2, j'ai trouvé : |z-zA| = |z-zB|
Soit : -|z-zA| = AM et -|z-zB| = BM.
Donc, l'ensemble des points M est la médiatrice de [AB]
Ensuite, je ne suis pas sûre de comprendre pour le 1... J'aurais dit qu'on ne peut pas calculer f(z) pour à = -2....
Voici mes calculs pour le 4)c) :
x² + y² - 2x + 3y + 2 + - x + 2y + 4 = 0
x²+ (y+2)² 
0
soit :
x² - 3x + y² + 5y +6 = 0
x²+ (y+2)² 0
soit :
(x+3/2)² + (y+5/2) ² = 5/2
(x ; y) (0 ; -2).
Du coup, je suppose qu'on peut calculer f(z) pour n'importe quel nombre complexe z ; est-ce tout ce qu'il faut dire pour le 1 ou dois-je le démontrer ? (si oui, je ne vois pas comment faire).
x² + y² - 2x + 3y + 2 + - x + 2y + 4 = 0
cela ne traduit pas la question 4c ... relis l'énoncé
Du coup, je suppose qu'on peut calculer f(z) pour n'importe quel nombre complexe z
non !
la définition de f(z) comporte une division... et quand on divise que faut-il vérifier ?
l'application n'est pas définie pour tout nombre complexe ?f(z) n'est pas définie pour z=-2i donc elle n'est pas définie pour TOUT nombre complexe ! soyons logique.
4c : m'enfin, ce n'est quand même pas compliqué d'écrire Re(Z) = Im(Z)
pas plus dur que ce que tu as fait avant !
Bon, pour le 4c j'obtiens maintenant :
x²-2x+y²+3y+2 = -x+ 2y +4
x² - x + y² +y -2 = 0
Donc j'ai :
(x-1/2)²+ (y+1/2)²= 5/2 ?
L'ensemble des points M est le cercle de centre J (1/2; -1/2) et de rayon r= √10/2, privé du point B (0; -2)
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