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nombres complexes ensembles de points

Posté par
aya4545 31-05-22 à 23:33

bonsoir
une question qui me préoccupe, prière maider a depasser ce blocage
dans le plan complexe rapporté à un repere orthonormé direct (o ,\vec u , \vec v ) on considere les points  A(1) et   B(2) soit \theta \in ]\frac {\pi}{2}  , \frac { 3 \pi}{2}[ . on considere l equation (E) : iz^2-2(i-\cos \theta )z-2 \cos \theta=0
1) resoudre (E)
2) determiner la nature et construire l ensemble \Gamma =\lbrace M(z) / \arg \frac {z-2}{z}\equiv  -\frac {\pi}{2}  (2\pi) \rbrace
3) soient M_1(z_1); M_2(z_2 )     \quad  z_1=1+ie^{i\theta }\quad z_2=1+ie^{-i\theta}
ecrire sous forme exponentielle z_1 et z_2
4) montrer que \frac {z_1-2}{z_1} \in i \R^-   et  \frac {z_2-2}{z_2} \in i \R^-
5) montrerque lorsque \theta \in ]\frac {\pi}{2}  , \frac { 3 \pi}{2}[ chaqu un des des points M_1(z_1); M_2(z_2 )  decrit \Gamma
6) lorsque M_1 \neq M_2 on considere G le centre de gravité du triangle AM_1M_2 determiner l ensemble des points G lorsque \theta  decrit ]\frac {\pi}{2}  , \frac { 3 \pi}{2}[


j ai trouvé z_1=-2\cos ( \frac {\theta}{2}+\frac{\pi}{4}) e^{i(\frac {\theta}{2}+\frac {5\pi}{4})      \quad z_2=2\cos ( \frac {-\theta}{2}+\frac{\pi}{4})  e^{i(\frac {-\theta}{2}+\frac {\pi}{4} )    
Gamma est un demi cercle de diametre [O;B] privé des deux points O et B le reste est facile  mais

je bloque dans 6)
soitO_2 le milieu  de [A M_2] et soit G le centre de gravité de AM_2M_1 \\ le point G  verifie \vec {O_2 G}=\frac 13 \vec { O_2 M_1} donc G  est l image  de M_1par l homothétie de centre O_2 et de rapport  1/3 mais ca donne rien

et merci pour votre soutien

Posté par
LeHiboure : nomres complexes ensembles de points 31-05-22 à 23:49

Bonsoir,

Il y a une autre façon de déterminer le centre de gravité :
Si tu as 3 points A, B, C représentés par leur affixes complexes zA, zB, zC, alors l'affixe coplexe du centre de gravité est (zA + zB + zC)/3
Dans ton cas c'est peut-être plus facile à utiliser...

Posté par
LeHiboure : nomres complexes ensembles de points 31-05-22 à 23:51

l'affixe coMplexe, évidemment

Posté par
aya4545re : nomres complexes ensembles de points 01-06-22 à 01:47

merciLeHibou
j ai trouvé z_G=1+icos \theta et apres je suis bloquée

Posté par
aya4545re : nomres complexes ensembles de points 01-06-22 à 01:55

Pardon
z_G=1+\frac 23 icos \theta

Posté par
LeHiboure : nomres complexes ensembles de points 01-06-22 à 07:27

Donc l'abscisse de G est 1, et l'ordonnée de G varie entre -2/3 et 2/3.
Qu'en déduis-tu ?

Posté par
aya4545re : nombres complexes ensembles de points 01-06-22 à 10:46

bonjour
merci LeHibou c etait tard  ,j etais fatiguée
l ensemble des points est donc le segment semi ouvert [E,F[ avec E(1-\frac 23 i)  et  F(1+\frac 23 i  )    

Posté par
LeHiboure : nombres complexes ensembles de points 01-06-22 à 11:16

C'est inexact.
Regarde bien les variations de cos() quand parcourt ]/2 ; 3/2[.
Au besoin, aide-toi du dessin d'un cercle trigonométrique.

Posté par
LeHiboure : nombres complexes ensembles de points 01-06-22 à 11:18

Pour ta défense, c'est moi-même qui t'ai induit en erreur ce matin à 7h27, je n'avais sans doute pas encore bu assez de café

Posté par
aya4545re : nombres complexes ensembles de points 01-06-22 à 13:36

rebonjour
f(x)=\cos x    ona f'(x)=-\sin x     \quad x \in ]\frac{\pi}{2} ,\frac{ 3 \pi}{2}[
apres etude de la fonction f sur ]\frac{\pi}{2} ,\frac{ 3 \pi}{2}[ on a    -1\leq f(x) <0
et par suite z_G \in  [E,A[                     E(1-i)

Posté par
LeHiboure : nombres complexes ensembles de points 01-06-22 à 13:51

Tu as perdu le 2/3 en route, c'est E(1 - 2i/3)

Posté par
aya4545re : nombres complexes ensembles de points 01-06-22 à 15:34

merci LeHibou
autrement
M_1(1+ie^{i\theta})  ;M_1(1+ie^{-i\theta})
et soit M_3 milieu de [M_1,M_2]  \implies M_3(1+i\cos \theta )
or \vec {M_3 G}=\frac 13 \vec { M_3 A}on peut deduire que
z_G-1=\frac 23 i \cos \theta soit
\vec {AG}=\lambda \vec u avec A(1)  ;  \lambda =\frac 23 \cos \theta      et   \vec{u}(i) ............

merci LeHibou

Posté par
LeHiboure : nombres complexes ensembles de points 01-06-22 à 15:42

Effectivement, ça marche aussi, heureusement d'ailleurs, mais c'est moins intuitif car ça fait appel à une proposition auxiliaire "étrangère" au problème.
A mon avis, en règle générale, la meilleure démonstration est celle qui utilise le moins de résultats auxiliaires. Mais c'est un avis personnel
Il faut te rappeler que le centre de gravité, c'est simplement le barycentre quand tous les coefficients de pondération sont égaux à 1.
En en plus, la formule des moyennes est plus générale, elle te donne le centre de gravité de n'importe quel polygone convexe, le triangle n'étant que le plus simple d'entre eux

Posté par
LeHiboure : nombres complexes ensembles de points 01-06-22 à 15:43

Ceci dit, ton niveau me parait généralement excellent !

Posté par
aya4545re : nombres complexes ensembles de points 01-06-22 à 17:55

merci LeHibou c est gentil de votre part
et bonne journée

Posté par
lakere : nombres complexes ensembles de points 01-06-22 à 18:42

Bonjour,

Une petite remarque :

    

Citation :
et par suite z_G \in  [E,A[                     E(1-i)


L'énoncé nous dit :

  
Citation :
6) lorsque {\red M_1 \neq M_2} on considère G ...


  et sur l'intervalle considéré pour \theta, il faut que \theta \not=\pi

  donc le point E(1-i) est à exclure.

Posté par
aya4545re : nombres complexes ensembles de points 02-06-22 à 09:16

bonjour
merci  lake
M_1=M_2 \iff 1+ie^{i\theta}=1+ie^{-i\theta} \iff \theta =k\pi
or
\theta \in ]\frac {\pi}{2}  , \frac { 3 \pi}{2}[ \implies \theta=\pi
merci lake et bonne journée

Posté par
lakere : nombres complexes ensembles de points 02-06-22 à 11:11

Je voulais bien sûr écrire : E\left(1-\dfrac{2}{3}\,i\right)

Mais tu auras sans doute rectifié


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