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Nombres complexes ... (equation du second degré)

Posté par milou7700 (invité) 02-10-05 à 12:34

Bonjour tout le monde ! Je suis occupée de préparer un dns de maths et je bloque sur une partie de mon exercice. Après avoir bien sur cherché dans la recherche du forum ou il n'y avait pas la réponse ni l'explication a ma question, je me permets de poster un sujet en esperant avoir de l'aide ...

Merci beaucoup

Voici l'énoncé :

Soit l'équation z^2 - 2 (1+2cos)z+5+4cos = 0 avec

Résoudre l'équation dans

alors, j'ai pensé a faire delta mais je tombe sur un calcul monstrueux que je n'arrive quand meme pas a resoudre. comment faire alors ?

Merci pour le petit coup de pouce

Posté par
siOkre : Nombres complexes ... (equation du second degré) 02-10-05 à 12:50

Bonjour

1) tu calcules le discriminant ... et tu donnes le résultat si tu ne sais pas continuer ... courage



2) plus astucieux ... en passant par la forme canonique

z^2-2(1+cos(a))z+5+2cos(a)=z^2-2(1+2cos(a))z\red+(1+2cos(a))^2-(1+2cos(a))^2\black+5+2cos(a)

= [z-(1+cos(a))]^2-1-4cos^2(a)-4cos(a)+5+4cos(a)

= [z-(1+cos(a))]^2+4(1-cos^2(a))

= [z-(1+cos(a))]^2+4sin^2(a)

= [z-(1+cos(a))]^2-(2isin(a))^2

après identité remarquable ...



enfin sauf erreur !



Posté par milou7700 (invité)re : Nombres complexes ... (equation du second degré) 02-10-05 à 12:57

pas compris pourquoi utiliser la forme canonique ?
merci

Posté par
siOkre : Nombres complexes ... (equation du second degré) 02-10-05 à 13:02

J'ai indiqué deux méthodes.

la forme canonique conduit peut-être à moins de calculs compliqués mais demande de l'astuce.

le discriminant c'est plus classique ... donne tes calculs si tu n'y arrive pas.

Posté par milou7700 (invité)re : Nombres complexes ... (equation du second degré) 02-10-05 à 13:13

ok
alors j'utilise
=(2+2 cos a)^2-4\times{1}\times{5+4 cos a)
                    = 4 + 8 cos a + 4 cos^2 a - 20 - 16 cos a
                    = -16 - 8cos a + 4 cos^2 a
                    = -4 (4 + 2 cos a + cos^2a)

négatif

et apres je bloque ...

meme si je sais que pour calculer les racines il faut faire
z1 =-b+i-/2a
z2 =-b-i-/2a

merci pour laide

Posté par
siOkre : Nombres complexes ... (equation du second degré) 02-10-05 à 15:38

erreur de calcul
tu as une erreur de calcul: attention à la gestion du - dans -4ac

\Delta=[2(1+2cos(a))]^2-4(5+4cos(a))

\Delta=[2+4cos(a)]^2-20-16cos(a)

\Delta=4+16cos(a)+16cos^2(a)-20-16cos(a)

\Delta=-16+16cos^2(a)

\Delta=-16(1-cos^2(a))

\Delta=-16sin^2(a)



delta négatif
C'est justement là qu'interviennent les complexes: tous nombre négatif est le carré d'un nombre complexe !
i^2=-1

\Delta=(4isin(a))\time (4isin(a))=(4isin(a))^2



pour la forme canonique
je m'étais planté dans l'énoncé ...



enfin sauf erreur de calcul...

Posté par milou7700 (invité)re : Nombres complexes ... (equation du second degré) 02-10-05 à 15:45

merci pour ton aide !

Posté par milou7700 (invité)re : Nombres complexes ... (equation du second degré) 02-10-05 à 15:52

j'ai donc comme résultat

Z1= 2cos a - 2 i sin a
Z2= 2 cos a + 2 i sin a

correct ?

Posté par
siOkre : Nombres complexes ... (equation du second degré) 02-10-05 à 16:06

qu'est devenu le 1 du b = 2 (1+2cos(a)) ?

ce ne serait pas
1 + 2 cos(a) - 2i sin(a)    et   1 + 2 cos(a) + 2i sin(a)    ????


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