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Nombres complexes et détermination de couples

Posté par
lou1100 05-11-22 à 15:15

Bonjour,

Soit z un nombre  complexe. On définit le nombre complexe z' par z'=\frac{2i-z^2}{z \times\bar{z} + 1 }

On pose z = x + iy et z' = x' + iy' où x,y,x' et y' sont quatre réels

1) Justifier que le nombre complexe z' est bien défini pour tout z

2) Existe-t-il des valeurs de z telles que z' soit égal à 1 ? Justifier

3)a) Démontrer que z' est réel si et seulement si (z-\bar{z})(z + \bar{z}) = 4i

    b) Déterminer les couples (x;y) tels que z' soit un réel

4) Déterminer les couples (x;y) tels que z' soit un imaginaire pur


Voilà où j'en suis :

1)Pour que z' soit bien défini, le dénominateur doit être non nul.
C'est à dire {z \times\bar{z} + 1 }\neq 0
Donc {z \times\bar{z}}\neq -1 pour obtenir un dénominateur non nul.
On sait que z\times\bar{z} = |z|^2
Or |z|^2 est toujours positif
Donc z\times\bar{z} + 1 est un nombre qui n'est jamais nul.

2)D'après l'énoncé, on pose ; z = x + iy

z' = 1 \\ \\ \frac{2i - z^2}{z\times\bar{z} + 1 } = 1 \\ \\ 2i -z^2 = z\times\bar{z} + 1

On remplace z par x + iy deux réels

2i - (x + iy)^2 = ( x + iy)(x-iy) + 1 \\ \\ 2i - x^2 + 2xiy - y^2 = x^2 + y^2 +1 \\ \\ x^2 - y^2 + i(2xy - 2) = x^2 +y^2 + 1

On a \begin{cases} & \text{ } x^2 - y^2= x^2 + y^2 + 1 \\ & \text{ } i(2xy - 2) = 0 \end{cases}

-2y^2 = 1 N'admet pas de solution dans

Il n'existe pas de valeurs de z telles que z' soit égal à 1

3) a)

z' = \bar{z}

\frac{2i - z^2}{z\times \bar{z} +1} = \frac{-2i - \bar{z^2}}{\bar{z}\times z + 1}

2i - z^2 = -2i - \bar{z^2}

z^2 - \bar{z^2} = 4i

( z - \bar{z})(z + \bar{z}) = 4i

Je suis coincée à partir de la 3b

Merci d'avance pour votre aide
lou1100

Posté par
Camélia Correcteurre : Nombres complexes et détermination de couples 05-11-22 à 15:26

Bonjour

Tu as une erreur dans le calcul de (x+iy)^2 dans 2)

Posté par
lou1100re : Nombres complexes et détermination de couples 05-11-22 à 19:10

Bonjour,
oui maintenant que vous le dîtes je vois mon erreur !

2i - ( x + iy )^2 = (x+iy)(x-iy) + 1 \\ \\ 2i - ( x^2 + 2xiy -y^2) = x^2 + y^2 + 1 \\ \\ 2i - x^2 -2xiy + y^2 = x^2 + y^2 + 1 \\ \\ - x^2 + y^2 + i(-2xy + 2) = x^2 + y^2 + 1

On a \begin{cases} & \text{ } -2x^2= 1 \\ & \text{ } i(-2xy + 2)= 0 \end{cases}

-2x^2 = 1 n'admet pas de solution dans

Il n'existe pas de valeurs de z telles que z' soit égal à 1

Je pense que c'est bon !

J'ai aussi essayé d'avancer sur la suite :

3b) On résout l'expression suivante :

( z -\bar{z})( z + \bar{z}) = 4i \\ \\ ( (x + iy)-(x - iy))((x + iy))+(( x - iy)) = 4i \\ \\ (2iy)(2x) = 4i \\ \\ 4ixy = 4i \\ \\ xy = 1 \\ \\ y = \frac{1}{x} \\ \\ x = \frac{1}{y} \\


On a donc le couple ( \frac{1}{y} ; \frac{1}{x} )

Posté par
lou1100re : Nombres complexes et détermination de couples 07-11-22 à 17:52

Bonsoir,
Je me permet de revenir vers vous pour la fin de l'exercice ( que j'espère juste )

4)
z' = \frac{(x^2 + 2xiy - y^2 -2i)}{(x^2+y^2+1)} \\ \\ \\ Re(z') = \frac{x^2 - y^2}{x^2+y^2+1}


On résout

\frac{x^2 - y^2}{x^2+y^2+1} = 0 \\ \\ x^2 - y^2 = 0 \\ \\ ( x + y )(x-y) = 0

Un produit de facteurs est nul si est seulement si au moins un de ces facteurs est nul :

( x + y ) = 0 \\ y = - x


ou


(x-y) = 0 \\ y = x


Je ne sais pas comment écrire les couples pour ma réponse finale

Merci d'avance
lou1100

Posté par
malou Webmasterre : Nombres complexes et détermination de couples 07-11-22 à 18:19

bonsoir
Camélia n'est pas là
je regarde un peu ce que tu as écrit

ta conclusion à 3b) est drôle...les couples sont ceux qui s'écrivent (x , 1/x) (et on sait que x ne peut pas être nul car xy=1)

4) ce sont les couples (x,x) ou (x,-x) avec x réel

Posté par
lou1100re : Nombres complexes et détermination de couples 08-11-22 à 17:20

Bonsoir,
Je prends note de vos remarques.
Merci !
Bonne soirée
lou1100

Posté par
malou Webmasterre : Nombres complexes et détermination de couples 08-11-22 à 17:26

Bonne soirée lou1100
à une autre fois sur l'


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