Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

Nombres Complexes et Exponentielle

Posté par
leamsgn
20-08-20 à 10:37

Bonjour,
je rentre en prépa ECS et j'ai des exercices de Maths à faire , seulement je bloque sur un.
Résoudre exp(z)=racine3+ 3i
Je pense que la solution est simple mais je ne trouve pas, j'ai essayé de passer par (cos téta + i sin téta) mais je reste bloqué,
Pourriez vous me donner des pistes stp ?
Bonne journée et merci d'avance !

Posté par
Boclette
re : Nombres Complexes et Exponentielle 20-08-20 à 10:48

Bonjour !

Tu pourrais écrire z = a + ib avec (a,b) \in \mathbb{R}^2,  et utiliser les propriétés de l'exponentielle (ainsi que, comme tu l'as dit, e^{i \theta} = \cos\theta + i \sin\theta pour séparer partie réelle et partie imaginaire   

Posté par
leamsgn
re : Nombres Complexes et Exponentielle 20-08-20 à 14:13

Bonjour Boclette,
tout d'abord merci pour votre réponse, je ne comprend pas très bien comment procéder, pourriez-vous m'expliquer svp ?

Posté par
Boclette
re : Nombres Complexes et Exponentielle 20-08-20 à 15:04

Tu sais que tout nombre complexe peut s'écrire de la forme z = a + ib. Tu cherches à résoudre l'équation, d'inconnue z, e^z = \sqrt{3} + 3i.

Donc, trouver z, c'est la même chose que trouver a et b.
Donc e^z = e^{a +ib} = e^a . e^{ib} = e^a(\cos b + i\sin b) = e^a\cos b + ie^a\sin b.

Et donc,  tu as e^z = \sqrt{3} + 3i, et tu sais que deux complexes sont égaux ssi leurs parties réelles et imaginaires sont respectivement égales.
Tu te retrouves donc, en procédant par identification, avec un système. Tu arrives à trouver lequel ?

Posté par
leamsgn
re : Nombres Complexes et Exponentielle 20-08-20 à 15:44

okk d'accord je vois à peu près ...
donc on obtient un système :

racine3= e^a*cos b
3=e^a+sin b
?

Posté par
Boclette
re : Nombres Complexes et Exponentielle 20-08-20 à 16:01

Presque ! Tu as mis un + au lieu d'un \times.

\begin{cases} e^a \cos b = \sqrt{3} \\ e^a \sin b = 3 \end{cases}

Maintenant, il te faut trouver a et b... Une piste est certainement d'utiliser, lorsque cela est possible, la fonction tangente et ses valeurs remarquables. Pour rappel, par définition, \tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}. Je pense que ça te permettra de déterminer b, puis a. N'oublie pas que la fonction tangente est périodique !  



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !