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nombres complexes et géométrie
Bonjour,
J'ai un exercice sur les complexes à faire et je bloque un peu, si vous pouviez m'aider, ce serait gentil, merci !
Voici l'énoncé :
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (O, u, v), ayant comme unité graphique 4 cm. On note A, B et C les points d'affixes respectives 2i, -1 et i.
On considère l'application f de P / ( A ) dans P qui, à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe telle que :
z' = (z + 1) / (z - 2i)
1. a) Faire une figure que l'on complètera.
b) déterminer l'affixe du point C' image de C. Quelle est la nature du quadrilatère ACBC' ?
=> zc' = -1 + i
ACBC' est un parallélogramme, ainsi vecteur AC = vecteur C'B = i
c) Montrer que le point C admet un unique antécédent par f que l'on notera C". Quelle est la nature du triangle BCC" ?
=> Je ne sait pas trop comment prouver qu'il existe un antécédent unique mais ce que j'ai fait, c'est calculer z" d'après l'application f. Ainsi on a :
zc = (zc" + 1) / (zc" - 2i)
i = (zc" + 1) / (zc" - 2i)
i(zc" - 2i) = (zc" + 1)
izc" - zc" = 1 - 2
zc"(i - 1) = -1
zc" = -1 / (i - 1)
zc" = - 1/2i + 1/2
Est-ce correct ?
On a alors un triangle isocèle en C", comment le prouver ?
Je dois aussi donner une interprétation géométrique de l'argument et du module de z'. Je ne vois pas du tout, je pense m'être trompée à la question c)... 
Besoin d'un petit coup de pouce... 
Bonsoir,
J'aurais besoin de quelques éclaircissements sur la géométrie des nombres complexes s'il vous plait.
En fait, dans cet exercice, il m'est demandé de donner une interprétation géométrique de l'argument et du module de z' avec : z' = (z + 1) / (z - 2i)
Et les constructions suivantes :
Dans le repère (O, u, v), on a A(2i), B(-1) et C(i), ainsi que C'(i + 1), l'image de C et C"(1/2 i + 1/2), l'antécédent de C
Le triangle BCC" est un triangle rectangle en C
Et je remarque aussi que les points C, C' et C" sont tous trois sur un cercle de centre H(-1/2)
De plus, les triangles formés par les points B, C' et C ou B, C et C" sont tous deux rectangles
Je remarque aussi que dans le cercle de centre O, le point C" a un module de 
/4, le point C un module de 2, et le point C' un module de 3/4 (soit à chaque fois + /4)
Je suis désolée de donner des observations "en vrac", mais moi-même je patauge un peu (beaucoup)
Merci d'avance pour votre aide !
*** message déplacé ***
Bonsoir,
Tout ce que tu as fais jusque là est bon.
Juste une petite erreur dans le calcul de zc"
zc"=-1/(i-1)
zc"= 1/2+i/2
Calcule les affixes des vecteurs CC" et BC" puis leur module et tu pourra facilement deduire que BCC" est isocèle.
J'ai zc' = 1/2i + 1/2
zc' = 1/2(i + 1)
donc r = 
1/2
r = 2 /2
D'où zc' = 2 (2 /2 + i2 /2)
zc' = 2 (cos /4 + i sin/4)
zc' = 2 e(i/4)
Est-ce correct ?
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