Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Nombres complexesTopics traitant de nombres complexes [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Nombres complexes et géométrie

Posté par
Nijiro 15-02-21 à 21:45

Bonjour,

Soit F l'application du plan complexe (P) vers (P) et qui associe à tout point M d'affixe z-{i} le point M' d'affixe f(z)=\frac{1-iz}{z-i}.

Montrer que si le point M varie sur le cercle (C) de centre A(i) et de rayon 4, alors le point M' varie sur un cercle (C') dont on déterminera le centre et le rayon.

Merci d'avance.

Posté par
carpediemre : Nombres complexes et géométrie 15-02-21 à 21:56

salut

quelle est l'affixe d'un point du cercle C(A, 4) ?

Posté par
ciocciure : Nombres complexes et géométrie 15-02-21 à 21:57

Salut
comment tu peux traduire géométriquement M est sur le cercle de centre A et de rayon 4?
Ça veut dire quoi en terme de distances

Posté par
ciocciure : Nombres complexes et géométrie 15-02-21 à 21:58

Salut carpediem ....je te laisse finir

Posté par
Nijirore : Nombres complexes et géométrie 15-02-21 à 23:15

Salut!
L'affixe d'un point du cercle (C) s'écrit sous la forme: x+iy tel que x2+(y-1)2=16 et (x;y)2

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes et géométrie 16-02-21 à 07:41

Bonjour,
Ce que tu as donné, c'est une équation où interviennent les coordonnées.
Commence par cette question un peu plus facile :
Quelle est une forme exponentielle d'un point du cercle de centre O et de rayon 4 ?
Puis idem avec centre A au lieu de O.

Posté par
Nijirore : Nombres complexes et géométrie 25-02-21 à 13:05

Salut,
Désolée pour le retard, la semaine a été chargée ^^'.
J'ai résolu le problème:
M appartient à (C) donc: AM=4 \Leftrightarrow |z-i|=4
On a:
|f(z)-i|=| \frac{1-iz}{i-z}-i|=|\frac{1-iz+1+iz}{i-z}|=\frac{2}{|i-z|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
donc: |f(z)-i|=\frac{1}{2}\Leftrightarrow AM'= \frac{1}{2}
Par suite M'(C') de centre A et de rayon 1/2.

Posté par
carpediemre : Nombres complexes et géométrie 25-02-21 à 13:49

ok ...

mais cette méthode marche parce qu'on te donne la réponse ... (l'image est un cercle)
et pourquoi décides-tu de calculer |f(z) - i| ?

si tu ne savais pas que l'image est un cercle comment aurais-tu fait ?

Posté par
Nijirore : Nombres complexes et géométrie 25-02-21 à 14:03

J'ai calculé |f(z)-i| car j'ai voulu faire paraitre |z-i|...
Si je ne savais pas que l'image est un cercle...c-à-d que la question serait: sachant que M(z) varie sur un cercle (C) de centre A(i) et de rayon, déterminer l'ensemble des points M'(z') tel que z'=f(z) ?

Posté par
carpediemre : Nombres complexes et géométrie 25-02-21 à 14:32

tout à fait !!

et à priori il n'y a aucun lien entre |f(z) - i| et |z - i| pour un f quelconque ...

mais l'idée est bonne (de vouloir faire apparaitre |z - i|) dans le cas général ...
mais comment faire ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes et géométrie 25-02-21 à 16:47

Bonjour,
Dans l'énoncé de 21h45 : f(z)=\dfrac{1-iz}{z-i}

Ce matin à 13h05: |f(z)-i|=| \dfrac{1-iz}{i-z}-i| \;

Posté par
carpediemre : Nombres complexes et géométrie 25-02-21 à 18:23

ha damned ... même pas vu

merci Sylvieg

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes et géométrie 26-02-21 à 09:02

Je rectifie mon message qui était plus que confus :

Citation :
Quelle est une forme exponentielle de l'affixe d'un point du cercle de centre O et de rayon 4 ?
Puis idem avec z-i où le point d'affixe z est sur le cercle de centre A.

Posté par
Nijirore : Nombres complexes et géométrie 26-02-21 à 23:14

Salut!
Désolée, je n'ai pas du tout fait attention à la consigne. Au lieu de z-i, on a i-z.
Pour la question de Sylvieg: M(z)(C)/ z=i+4e^{i\theta }

Posté par
PLSVUre : Nombres complexes et géométrie 26-02-21 à 23:22

OK  pour z=i+4e^{i\theta }

Posté par
Nijirore : Nombres complexes et géométrie 26-02-21 à 23:30

\text{ On a }z=i+4e^{i\theta } \\ \text{ Alors } z'=f(z)=\frac{1-i(i+4e^{i\theta })}{4e^{i\theta }}= \frac{1-2ie^{i\theta }}{2e^{i\theta }}= \frac{e^{-i\theta }-2i}{2}=-i+\frac{1}{2}e^{-i\theta }\\.
Par suite: M'(z') appartient au cercle (C') de centre A'(-i) et de rayon 1/2.

Posté par
PLSVUre : Nombres complexes et géométrie 27-02-21 à 00:05

   tu as fait des erreurs... ,vérifie les calculs  que j'ai supprimés

\frac{1-i(i+4e^{i\theta })}{4e^{i\theta }}= ...................=-i+\frac{1}{2}e^{-i\theta }
Par suite: M'(z') appartient au cercle (C') de centre A'(-i) et de rayon 1/2. c'est juste

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes et géométrie 27-02-21 à 07:35

Bonjour,
Je ne vois pas d'erreur dans le calcul de Nijiro.
Une simplification par 2 un peu rapide peut-être.

Posté par
Nijirore : Nombres complexes et géométrie 27-02-21 à 10:44

J'ai essayé de trouver l'erreur mais je n'ai pas réussi. La simplification est rapide comme a dit Sylvieg. Merci énormément Sylvieg et PLSVU!

Posté par
PLSVUre : Nombres complexes et géométrie 27-02-21 à 10:56

@Nijiro   je m'excuse de ma stupide erreur .


Bonjour Sylvieg,
En effet la simplification par 2  .....merci pour ton commentaire  

Citation :
un peu rapide peut-être


Par contre  en relisant ce  message de  Nijiro ,suite à ton message  du 25-02-21 à 16:47

Citation :
Désolée, je n'ai pas du tout fait attention à la consigne. Au lieu de z-i, on a i-z



i-z=i-(i+4e^{i\theta})=-4e^{i\theta}

no comment

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes et géométrie 27-02-21 à 11:35

Effectivement
On reprécise tout : z' = f(z)=\dfrac{1-iz}{i-z} \; et \; z = i+4e^{it}

z' = \dfrac{1-i( i+4e^{it})}{-4e^{it}} = - \dfrac{2-4ie^{it}}{4e^{it}} = - \dfrac{1-2ie^{it}}{2e^{it}} = -\dfrac{1}{2} e^{-it} - i

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes et géométrie 27-02-21 à 11:37

Oups : \; +i \; à la fin

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes et géométrie 27-02-21 à 12:06

En fait, il suffisait de multiplier par -1 le résultat de 23h30

Posté par
Nijirore : Nombres complexes et géométrie 27-02-21 à 12:34

Autant pour moi. J'ai utilisé la fausse expression de f (z), celle dans la consigne. Désolée pour la perturbation et merci pour vos efforts. Merci beaucoup!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes et géométrie 27-02-21 à 12:37

De rien, et à une autre fois sur l'île \;

Posté par
carpediemre : Nombres complexes et géométrie 27-02-21 à 13:07

en tout cas c'est la méthode pour trouver l'image du cercle sans savoir ce qu'est son image ...


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1766 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !