r=racine carre

** message déplacé **

bonjour Jean.

permettez moi de vous répondre.

La suite z(n) est définie par :
z(0)=1
et z(n+1)=((3/4)+i(r3/4))*z(n)

A(n): le point d'affixe z(n).  

posez a=(3/4)+i(rc(3)/4)  ; où rc() désigne la racine carré.

alors a=(rc(3)/2)(rc(3)/2+i/2)
           =(rc(3)/2)exp(iPi/6)
donc |a|=(rc(3)/2)   et arg(a)=Pi/6 mod(2Pi)

donc z(n+1)=az(n)

c'est donc une suite géométrique de raison a et de premier terme zo.

voila pour les préparatifs. Maintenant on va entammer l'exo.

1)z(1) = azo=a.1=a=(3/4)+i(rc(3)/4)
maintenant posez-vous la question porquoi z(6)
sachant que a=(rc(3)/2)exp(iPi/6)?


voila pour le rapèle maintenant passons aux calculs.

z(2)=az1=a²zo=a²=(rc(3)/2)exp(iPi/6))²
       = 3/4exp(2iPi/6)
       =3/4exp(iPi/3)
       =3/4((1/2)+irc(3)/2)

z(3)=a^3=3rc(3)/8exp(3iPi/6)
       =3rc(3)/8exp(iPi/2)
       =i 3rc(3)/8

z(4)=a^4=9/16exp(4iPi/6)
       = 9/16exp(i2Pi/3)
       = 9/16((-1/2)+i(rc(3)/2))

z(5)=a^5=9rc(3)/32exp(5iPi/6)
       =9rc(3)/32exp(5iPi/6)

cos(5Pi/6)=-cos(Pi-5Pi/6)=-cos(Pi/6)=-rc(3)/2

sin(5Pi/6)=sin(Pi-5Pi/6)=sin(Pi/6)=1/2

donc z(5)=9rc(3)/32((-rc(3)/2)+i/2)

z(6)=a^6=27/64exp(6iPi/6)
       = 27/64exp(iPi/)
       = -27/64

voila pour la question 1.

2) d(n)=| z(n+1)-z(n)|
  
a)pour tout entier naturel n sup ou égal à1 on a:  
z(n+1)-z(n)=az(n)-az(n-1)
                     = a(z(n)-z(n-1))
                     = ((3/4)+i(r3/4))*(z(n)-z(n-1))  

b)pour n sup ou égal à 1 on a:

d(n)=| z(n+1)-z(n)|
       =|a(z(n)-z(n-1))|
       =|a| |(z(n)-z(n-1))|   ,  comme d(n-1)=|z(n)-z(n-1)|
       = |a|d(n-1)
comme |a|=(rc(3)/2)

donc pour tout nEN on a: d(n)=(rc(3)/2) d(n-1)

d(0)=|z1-zo|
d(n) est donc une suite géométrique positive de raison rc(3)/2 et de premier
terme d(0). On sait alors que:

d(n)= d(0)*(rc(3)/2)^n pour tout nEN.

c)  interprétation géométrique de chacun des nombres d(n):

z(n+1)-z(n) est l'affixe du vecteur A(n)A(n+1)

donc d(n)=| z(n+1)-z(n)|=||A(n)A(n+1)||

d(n) est donc la distance qui sépare les deux points A(n) et A(n+1).
  
d)On pose  
    
Ln=somme[de k=0à k=n]  ||(A(k)A(k+1))||
      
la longueur de la ligne polygonale de sommets successifs A(0)
A(1)..., A(n+1).  

Déterminer L(n) en fonction de n et la limite de L(n) quand n tend vers + l'infini.
  
L(n)=somme[de k=0à k=n]  ||(A(k)A(k+1))||
       = somme[de k=0à k=n]d(k)

car qq soit k d(k)=||(A(k)A(k+1))||

comme d(n) est une suite géométrique de raison rc(3)/2=r

donc:

L(n)=(1-r^(n+1))/(1-r)  avec r=rc(3)/2

comme rc(3)/2 <1 donc lim r^(n+1)=0 qand n tend vers +oo.

donc lim L(n)=1/(1-r) lorsque n tend vers +oo.

3)Pour tt entier naturel n, on pose a(n)=argz(n)  

a) z(n)=a*z(n-1)  avec a=(rc(3)/2)exp(iPi/6)

donc arcz(n)=arg(a*z(n-1))= arg (a) + arg(z(n-1))

donc: a(n)=arg(a)+a(n-1)

comme arg(a)=Pi/6

donc a(n)=a(n-1)+ Pi/6  pour tt nEN*.


b) a(n) = a(n-1)+ Pi/6  pour tt nEN*.

donc a(n) est suite arithmétique de raison Pi/6 et de premier terme a(0)=arg(z0)=0
mod(2Pi)

donc a(n)=nPi/6  mod(2Pi)  pour tt nEN*.
  
c)Pour quelles valeurs de n, les points O,A(0) et A(n) sont-ils alignés?

O, A(0) et A(n) sont alignés ssi le vecteur OA(0) est lié au vecteur
OA(n)

comme OA(0) a pour affixe : 1
   et      OA(n) a pour affixe: z(n)
donc O, A(0) et A(n) sont alignés ssi arg(z(n))=kPi ; kEZ

voila

j'espère que j'ai répondu à votre exo.

bon courage

désolé je n'ai pas fini la dernière question:

O, A(0) et A(n) sont alignés ssi arg(z(n))=kPi ; kEZ
comme a(n)=nPi/6  mod(2Pi)

donc nPi/6=kPi

donc n=6k

les points O,A(0) et A(n) sont alignés pout tout n multiple de 6.

pour vérification: comparez l'emplacement de z^6, zo et 0.