Pouvez-vous m'aider pour cet exo? En fait c'est surtout
sur la question 2)c) que je coince, et sans la trouver je ne peux
pas continuer l'exercice j'ai fait toutes les questions
sauf à partirde 2)c) . Merci d'avance.
On considère les nombres complexes z(n) définis, pour tt entier naturel
n, par:
z(0)=1 et z(n+1)=((3/4)+i(r3/4))*z(n) et on note A(n) le point d'affixe
z(n).
1)Calculer sous forme algébrique les nombres z(1) à z(6).
Cette question pas de pb j'ai réussi
2)Pour tt entier naturel n, on pose d(n)=module (ou valeur absolue) de z(n+1)-z(n)
a)Vérifier pour tout entier naturel n sup ou égal à1:
z(n+1)-z(n)=)=((3/4)+i(r3/4))*(z(n)-z(n-1))
b)En déduire une relation entre d(n) et d(n-1) pour n sup ou égal à 1,
puis d(n) en fonction de n et d(0).
c) Donner une interprétation géométrique de chacun des nombres d(n).
d)On pose
k=n
Ln=[k=n]somme[k=0] A(k)*A(k+1),
la longueur de la ligne polygonale de sommets successifs A(0),A(1)...,
A(n+1).
Déterminer L(n) en fonction de n et la limite de L(n) quand n tend vers + l'infini.
3)Pour tt entier naturel n, on pose a(n)=argz(n)
a)Etablir une relation entre a(n) et a(n-1) pour n sup ou égal à 1.
b)En déduire a(n) en fonction de n.
c)Pour quelles valeurs de n, les points O,A(0) et A(n) sont-ils alignés?
merci de bien vouloir m'aider
r=racine carre
** message déplacé **
bonjour Jean.
permettez moi de vous répondre.
La suite z(n) est définie par :
z(0)=1
et z(n+1)=((3/4)+i(r3/4))*z(n)
A(n): le point d'affixe z(n).
posez a=(3/4)+i(rc(3)/4) ; où rc() désigne la racine carré.
alors a=(rc(3)/2)(rc(3)/2+i/2)
=(rc(3)/2)exp(iPi/6)
donc |a|=(rc(3)/2) et arg(a)=Pi/6 mod(2Pi)
donc z(n+1)=az(n)
c'est donc une suite géométrique de raison a et de premier terme zo.
voila pour les préparatifs. Maintenant on va entammer l'exo.
1)z(1) = azo=a.1=a=(3/4)+i(rc(3)/4)
maintenant posez-vous la question porquoi z(6)
sachant que a=(rc(3)/2)exp(iPi/6)?
voila pour le rapèle maintenant passons aux calculs.
z(2)=az1=a²zo=a²=(rc(3)/2)exp(iPi/6))²
= 3/4exp(2iPi/6)
=3/4exp(iPi/3)
=3/4((1/2)+irc(3)/2)
z(3)=a^3=3rc(3)/8exp(3iPi/6)
=3rc(3)/8exp(iPi/2)
=i 3rc(3)/8
z(4)=a^4=9/16exp(4iPi/6)
= 9/16exp(i2Pi/3)
= 9/16((-1/2)+i(rc(3)/2))
z(5)=a^5=9rc(3)/32exp(5iPi/6)
=9rc(3)/32exp(5iPi/6)
cos(5Pi/6)=-cos(Pi-5Pi/6)=-cos(Pi/6)=-rc(3)/2
sin(5Pi/6)=sin(Pi-5Pi/6)=sin(Pi/6)=1/2
donc z(5)=9rc(3)/32((-rc(3)/2)+i/2)
z(6)=a^6=27/64exp(6iPi/6)
= 27/64exp(iPi/)
= -27/64
voila pour la question 1.
2) d(n)=| z(n+1)-z(n)|
a)pour tout entier naturel n sup ou égal à1 on a:
z(n+1)-z(n)=az(n)-az(n-1)
= a(z(n)-z(n-1))
= ((3/4)+i(r3/4))*(z(n)-z(n-1))
b)pour n sup ou égal à 1 on a:
d(n)=| z(n+1)-z(n)|
=|a(z(n)-z(n-1))|
=|a| |(z(n)-z(n-1))| , comme d(n-1)=|z(n)-z(n-1)|
= |a|d(n-1)
comme |a|=(rc(3)/2)
donc pour tout nEN on a: d(n)=(rc(3)/2) d(n-1)
d(0)=|z1-zo|
d(n) est donc une suite géométrique positive de raison rc(3)/2 et de premier
terme d(0). On sait alors que:
d(n)= d(0)*(rc(3)/2)^n pour tout nEN.
c) interprétation géométrique de chacun des nombres d(n):
z(n+1)-z(n) est l'affixe du vecteur A(n)A(n+1)
donc d(n)=| z(n+1)-z(n)|=||A(n)A(n+1)||
d(n) est donc la distance qui sépare les deux points A(n) et A(n+1).
d)On pose
Ln=somme[de k=0à k=n] ||(A(k)A(k+1))||
la longueur de la ligne polygonale de sommets successifs A(0)
A(1)..., A(n+1).
Déterminer L(n) en fonction de n et la limite de L(n) quand n tend vers + l'infini.
L(n)=somme[de k=0à k=n] ||(A(k)A(k+1))||
= somme[de k=0à k=n]d(k)
car qq soit k d(k)=||(A(k)A(k+1))||
comme d(n) est une suite géométrique de raison rc(3)/2=r
donc:
L(n)=(1-r^(n+1))/(1-r) avec r=rc(3)/2
comme rc(3)/2 <1 donc lim r^(n+1)=0 qand n tend vers +oo.
donc lim L(n)=1/(1-r) lorsque n tend vers +oo.
3)Pour tt entier naturel n, on pose a(n)=argz(n)
a) z(n)=a*z(n-1) avec a=(rc(3)/2)exp(iPi/6)
donc arcz(n)=arg(a*z(n-1))= arg (a) + arg(z(n-1))
donc: a(n)=arg(a)+a(n-1)
comme arg(a)=Pi/6
donc a(n)=a(n-1)+ Pi/6 pour tt nEN*.
b) a(n) = a(n-1)+ Pi/6 pour tt nEN*.
donc a(n) est suite arithmétique de raison Pi/6 et de premier terme a(0)=arg(z0)=0
mod(2Pi)
donc a(n)=nPi/6 mod(2Pi) pour tt nEN*.
c)Pour quelles valeurs de n, les points O,A(0) et A(n) sont-ils alignés?
O, A(0) et A(n) sont alignés ssi le vecteur OA(0) est lié au vecteur
OA(n)
comme OA(0) a pour affixe : 1
et OA(n) a pour affixe: z(n)
donc O, A(0) et A(n) sont alignés ssi arg(z(n))=kPi ; kEZ
voila
j'espère que j'ai répondu à votre exo.
bon courage
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