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nombres complexes et transformations (spe)
bonsoir a tous ,
j'ai un petit probleme que je n'arive pa a resoudre et cela menerve un petit peu car en controle je n'yarrivai deja pa ^^.
Pourriez vous m'aider s'il vous plait?
soit les points A0, A1 et A2 d'affixes respectives z0 = 5-4i, z1 = -1-4i et z2=-4-i.
a. Justifier l'existence d'une unique similitude directe S telle que :
S(A0)=A1 et S(A1)=A2.
b.Etablir que l'ecriture complexe de la similitude de S est :
z' = z((1-i)/2)+((-3+i)/2)
Je planche dessus depuis pas mal de temps deja et je peux dire que pour la question a je ne sais vraiment pas du tout comment faire et que pour la b j'ai du la refaire une dizaine de fois sans trouver la bonne reponse.
Merci de votre aide
Miffel
Salut miffel
Tu sais qu'une similitude directe est de la forme z'=az+b.
Sachant que S(A0)=A1 et S(A1)=A2, tu te retrouves avec un système à 2 équations, à 2 inconnues. Tu en tires a et b et donc l'existence de ta similitude.
Joelz
ben oui c'est bien ce que je pensais mais j'ai essaye pleine de fois sans jamais trouve.
Avec une equation je determine b que je remplace dans l'autre afin de trouver a mais je n'y arrive pas.
Peux tu m'aider?
miffel
S(A0)=A1 => -1-4i=a(5-4i)+b (1)
S(A1)=A2 => -4-i=a(-1-4i)+b (2)
d'ou en faisant (1)-(2): 3-3i=a(5-4i+1+4i) => a=(1-i)/2
En injectant dans (2):
b=-4-i-(1-i)(1-4i)/2=(-3+i)/2
Joelz
ph la je ne comprend pas tres bien . POurquoi fais tu une soustraction membre a membre ?
miffel
C'est pour faire disparaitre b et ainsi avoir une expression de a qui ne depend pas de b!
Bonsoir.
a) Il existe peut-être des considérations géométriques permettant de prouver l'existence de S. Pour ma part, je dirais que le système
|az0 + b = z1
|az1 + b = z2
d'inconnues a et b a un déterminant non nul, doù l'existence et l'unicité de S.
b) J'ai résolu ce système et je trouve exactement la formule de l'énoncé.
A remarquer : le centre de S a pour affixe : -1 + 2i, et lorsque l'on place tous ces points dans le plan, on voit bien la similitude d'angle .
Cordialement RR.
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