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nombres complexes et triangles rectangles

Posté par odrey24 (invité) 30-12-05 à 17:26

Bonjour!!
Le père noël ne m'a malheureusement pas apporté un cerveau plus expérimenté en mathématiques donc je vais encore vous demander un peu d'aide si vous le voulez bien.
Voilà l'exercice problématique:
1)Démontrer que ABC rectangle en A (b-a)/(c-a) + (bbarre-abarre)/(cbarre-abarre) = 0
(j'ai réussi à démontrer cette question donc ce n'est pas la peine d'y réfléchir).

2)Soit M d'affixe z, M' d'affixe z2, M" d'affixe z3.
   a. Quelle condition doit vérifier z pour que M, M' et M" soient distincts?
   b. Trouver l'ensemble E des points M tels que MM'M" soit un triangle rectangle. Dessiner E.

Pour le a., j'ai mis z0,1,-1
Ou alors j'avais un théorème dans mon cours qui est (z3-z2)/(z3-z) = (M'M")/(MM") ei(vecteurMM";vecteurM'M")
Laquelle je dois mettre??
Sinon pour le b., j'ai mis :
(z2-z)/(z3-z) = - [(z2-z)/(z3-z)]barre
(z2-z)/(z3-z) i
vecteurMM' perpendiculaire à vecteurMM"
MM'M" triangle rectangle en M
M est sur le cercle de diamètre [M'M"] et M, M', M" distincts.
Le problème ici c'est que je ne sais pas où se trouve le centre du cercle dans le plan complexe ni son rayon donc je ne peux pas le tracer.
Pouvez-vous m'aider pour cette question??

merci d'avance et JOYEUSES FETES!!

Posté par odrey24 (invité)re : nombres complexes et triangles rectangles 06-01-06 à 17:20

il n'y a vraiment personne qui ait une idée?

Posté par
franzre : nombres complexes et triangles rectangles 06-01-06 à 19:01

2a/

M=M^'\;\Longleftrightarrow\;z= z^2\;\Longleftrightarrow\;z(z-1)=0\;\Longleftrightarrow\;z\in\{0,1\}

M=M^{''}\;\Longleftrightarrow\;z= z^3\;\Longleftrightarrow\;z(z^2-1)=0\;\Longleftrightarrow\;z\in\{-1,0,1\}

M^'=M^{''}\;\Longleftrightarrow\;z^2= z^3\;\Longleftrightarrow\;z^2(z-1)=0\;\Longleftrightarrow\;z\in\{0,1\}

M,M^',M^{''}\;{\rm distincts}\;\Longleftrightarrow\;\;z\notin\{-1,0,1\}

2b/

\array{ccl$M,M^',M^{''} \;{\rm rectangle en }M &\;\Longleftrightarrow\;\;& 4$\frac{z^3-z}{z^2-z}+\frac{\bar{z^3}-\bar z}{\bar{z^2}-\bar z} = 0 \\ & \;\Longleftrightarrow\;\;& 4$ \frac{z(z-1)(z+1)}{z(z-1)}+\frac{\bar z(\bar z-1)(\bar z+1)}{\bar z(\bar z-1)}=0 \\ & \;\Longleftrightarrow\;\;& 4$ (z+1)+(\bar z+1)=0 \\ & \;\Longleftrightarrow\;\;& 4$ {\mathcal R}e(z)=-1}

Posté par
franzre : nombres complexes et triangles rectangles 06-01-06 à 22:17

Désolé, j'ai dû m'absenter.

Il faut aussi étudier les cas des triangles rectangles en M' et M''.

Le cas rectangle en M^' n'est pas difficile. Il suffit de reprendre mon précédent post.
On trouve z\in i { \mathbb R}\backslash\{0\}


\array{ccl$M,M^',M^{''} \;{\rm rectangle en }M^{''} &\;\Longleftrightarrow\;\;& 4$\frac{z-z^3}{z^2-z^3}+\frac{\bar z -\bar{z^3}}{\bar{z^2}-\bar{z^3}} = 0 \\ & \;\Longleftrightarrow\;\;& 4$ \frac{z(1-z)(1+z)}{z^2(1-z)}+\frac{\bar z(1-\bar z)(1+\bar z)}{\bar {z^2}(1-\bar z)}=0 \\ & \;\Longleftrightarrow\;\;& 4$ \frac{1+z}z+\frac{1+\bar z}{\bar z}=0 \\ & \;\Longleftrightarrow\;\;& 4$ \bar z(1+z)+z(1+\bar z)=0 \\ & \;\Longleftrightarrow\;\;& 4$ |z|^2+{\mathcal R}e(z)=0}

En posant z=a+ib on a donc
4$a^2+b^2+a=0 \\ (a+\frac 1 2)^2+b^2=\(\frac 1 2\)^2

M est sur le cercle de centre d'affixe 3$-\frac 1 2 et de rayon 3$\frac 1 2


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