l'astuce est clair, il faut que tu passe à l'ecriture exponentielle, c'est à dire
, tu fais ta somme et tu applique l'indication, il faut tenir compre du fait que . donc t'as un petit probleme en t=0, car on retrouve le nombre complexe 1 pourlequel l'indication marche pas. le reste est facil.

okay, donc j'arrive a cette expression:



Donc pour trouver comment faire ?
Je pars de cela mais je n'arrive a rien:

salut
saber-x- t'as indique la marche a suivre
et normalement tu arrives a A=Cn(t)+iSn(t)=[e^(it)]*(e^(int)-1)/(e^it-1) pour t different de 0.
remarque : l'indication donnée est pour une suite de premier terme 1, ici le premier terme est e^(it), c'est pour ca que j'ai mis e^(it) en facteur.

apres il faut utiliser les formules d'Euler :

cos(t)=[e^(it)+e^(-it)]/2
et sin(t)=(1/2i)*[e^(it)-e^(-it)]

pour cela on factorise denominateur par e^(it/2) et numerateur par e^(int/2)

ce qui donne A=(e^(i*(n+1)*t/2))*[e^(int/2)-e^(-int/2)]/[e^(it/2)-e^(-it/2)]

on applique les formules et on a :

A=(e^(i*(n+1)*t/2))*[sin(nt/2)]/[sin(t/2)]

la il n'y a plus qu'a separer partie reelle et partie imaginaire pour avoir le resultat pour Cn(t) (t different de 0) et par la meme occasion celui de Sn(t)
(t different de 0).

le cas t=0 est un cas trivial qui ne devrait poser aucun probleme.

a+

oups il y a une reponse avant l'envoi de mons post.
ton expression Cn(t)+i*Sn(t) est fausse : tu es tombe dans le piege.
si tu calcules C0(t)+i*S0(t) tu as e^(it) et non 1 (pour t different de 0).
on evite ce probleme en factorisant par e^(it).

apres, tu passes aux cos et sin alors que le plus simple est de rester a la forme exponentielle.
regarde mon premier post.

merci je vais aller essayer de comprendre tout ça..!

Je ne comprends pas comment tu arrives a A=Cn(t)+iSn(t)=[e^(it)]*(e^(int)-1)/(e^it-1) ...
Merci beaucoup

pourquoi ? je vais vous le dire...

t different de 0.
ici on prend n>=1. car si n=0. les sommes sont indexees par un ensemble vide. par convention S0(t)=0 et C0(t)=0.
d'ou si n=0 A=0.

ceci etant dit,dans ce qui suit n>=1.

A=Cn(t)+iSn(t)=e^(it)+e^(2it)+....+e^(int)
et ce grace a la formule de Moivre.

MAIS ici on ne peut pas utiliser l'indication directement. car dans l'indication, le premier terme est 1. et ici c'est e^(it)
on va donc factoriser par e^(it)
donc A=(e^(it))*[1+e^(it)+....+e^(i*(n-1)t)]

n>=1.

on peut maintenant utiliser l'indication pour
1+e^(it)+....+e^(i*(n-1)t) mais attention en prenant q=e^(it) on a
1+e^(it)+....+e^(i*(n-1)t)=1+q+...+q^(n-1)
                                     *****

on ne va pas jusqu'a n comme dans l'indication, mais jusq'a n-1.
or l'indication peut aussi etre consideree de la facon suivante :
si n>=1.
1+q+..q^(n-1)=(1-q^n)/(1-q)

donc pour n>=1,1+e^(it)+...e^(i*(n-1)*t)=(1-[e^(it)]^n)/(1-e^(it))

ce qui fait que A=e^(it)*(1-e^(int))/(1-e^(it))

c'est tout.

merci je vais aller étudier cela.
merci beaucoup

re(salut)
on peut faire aussi autrement.

qu'est ce qui pose probleme, une fois qu'on a A=e^(it)+...+e^(int) ? c'est le 1.

on peut tres bien faire 1+A=1+...e^(int)

appliquer la formule du debut et on a
1+A=(1-e^[(n+1)*i*t])/(1-e^(it))

donc A=(1-e^[(n+1)*i*t])/(1-e^(it))-1
on met tout au meme denominateur et :
A=(e^(it)-e^[(n+1)*i*t])/(1-e^(it))=e^(it)*[1-e^(n*i*t)]/(1-e^(it))

meme resultat que je t'ai donné.

a+

Merci j'ai reussi à arriver jusque là.
J'ai ensuite factirisé par e^(int/2) au numérateur et par e^(it/2) au dénominateur.
J'arrive donc a cette expression:
-e^(it) [(e^(int/2))(sin(nt/2))] / [(e^(it/2))(sin(t/2)]

Mais je n'arrive pas ensuite a trouver:
(e^(i*(n+1)*t/2))*[sin(nt/2)]/[sin(t/2)]

merci de votre aide

tu y es presque : il suffit de rassembler les exponentielles restantes en utilisant les formules pour les exposants.

par contre l'expression est :

e^(it) [(e^(int/2))(sin(nt/2))] / [(e^(it/2))(sin(t/2)]

y'a pas de signe moins.

puis :
au numerateur, il y a comme exponentielle :
e^(it) et e^(int/2)

au denominateur : e^(it/2)

or e^(it)*e^(int/2)/[e^(it/2)]=e^(it*(1+n/2-1/2))

ce qui fait e^(it)*e^(int/2)/[e^(it/2)]=e^(it*(1+n)/2))
car 1+n/2-1/2=(n+1)/2

c'est pour ca que j'ai :
A=(e^(i*(n+1)*t/2))*[sin(nt/2)]/[sin(t/2)]

okay, merci bcp, je suis dsl je n'ai pas l'habitude de manipuler ce genre d'expression.
Je ne vois pas comment séparer la partie imaginaire et la partie réelle..Merci!

ce n'est pas grave.
on arrive a :

A=(e^(i*(n+1)*t/2))*[sin(nt/2)]/[sin(t/2)]

or e^[(i*n+1)*t/2]=cos((n+1)t/2)+i*sin((n+1)*t/2)

donc A=[cos((n+1)t/2)+i*sin((n+1)*t/2)]*[sin(nt/2)]/[sin(t/2)] (1)

A=Cn(t)+i*Sn(t) (2)

d'apres (1) et (2) :

Cn(t)+i*Sn(t)=[cos((n+1)t/2)+i*sin((n+1)*t/2)]*[sin(nt/2)]/[sin(t/2)]

2 nombres complexes sont egaux si et seulement si ils ont meme partie reelle et meme partie imaginaire.

partie reelle de Cn(t)+i*Sn(t) : Cn(t)

partie reelle de [cos((n+1)t/2)+i*sin((n+1)*t/2)]*[sin(nt/2)]/[sin(t/2)] : [cos((n+1)t/2))]*[sin(nt/2)]/[sin(t/2)]
(il n' y a pas de probleme au denominateur car[sin(t/2)] est un nombre reel

donc comme les parties reelles sont egales :
Cn(t)=[cos((n+1)t/2))]*[sin(nt/2)]/[sin(t/2)]


de meme en effectuant ce raisonnement sur les parties imaginaires on a :

Sn(t)=[sin((n+1)t/2))]*[sin(nt/2)]/[sin(t/2)]

(avec bien entendu n>=1, t different de 0 comme pour Cn(t))

a+