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Nombres Complexes Problème
Le plan complexe à un repère orthonormé ; unité graphique 4 cm. On apelle A et B les points d'affixes respectives i et -i.
A tout point M du plan d'affixe z différente de -i, on associe le point M' dont l'affixe z' est définie par z'= (z - i)/(z+i)
1° Calculer l'affixe z' du point M' associé au point M d'affixe z= 2 + i, précisez le module et un argument de z'. Placer les points M et M' dans le repère
2° Dans cette question , M est un point quelconque du plan distinct de B.
Montrer que OM' = MA/MB. En déduire que, lorsque z est réel M' appartient à un cercle que l'on précisera.
3° Dans cette question, M est un point quelconque du plan distant de B.
Aux points M1 , M2 et M3 d'affixes respectives z1=z¯, ( où z¯ désigne le nombre conjugué de z) , z2 = -z et z3= 1/z, on associe les points M'1 , M'2 , M'3 d'affixes z'1, z'2,z'3.
a) Montrer les relations : z'1= 1/ z'¯ ; z'2= 1/ z' ; z'3 = - 1/ z'
Exprimer les modules et arguments de z'1 , z'2 , z'3 en fonction du module et d'un argument de z'.
b) En utilisant ce qui précède, placer les points M1 , M2 , M3 , M'1 , M'2 , M'3 sur la même figure dans le cas où z= 2 + i
Bonsoir,
j'ai un énorme problème avec cet exercice!!
je m'en sors jusqu'au 2° MAIS à partir du 3° J'ai d'énormes problèmes! Aidez moi svp!!
J'espère que vous pourrez m'aider, en vous remerciant.
bonjour LiliMoi
pour 1 et 2) je vous donne les solutions comme ça vous pouvez vérifier.
1) z'=(1-i)/2 |z'|=1/rc(2) et arg(z')=-Pi/4 (2Pi)
2)OM'=|z'| ; MA=|i-z|=|z-i| ; MB=|-i-z|=|z+i|
comme z'= (z-i)/(z+i) donc
|z'|=|(z-i)/(z+i)|=|z-i|/|z+i|
donc OM'=MA/MB
si z est réel a alors MA/MB= (1+a²)/(1+a²)=1
donc OM'=1 donc M' appartient au cercle unité de centre O et de rayon 1.
3)
z1=Z ; je note Z=zbar.
Z'1=(Z-i)/(Z+i)=((z+i)bar)/(z-i)bar)=((z+i)/(z-i))bar=(1/z')bar=1/Z' ; avec Z'=z'bar.
z'2= (-z-i)/(-z+i)=(-(z+i))/(-(z-i))=(z+i)/(z-i)=1/z
z'3=(1/z -i)/(1/z +i)=((1-iz)/z)/((1+iz)/z)=(1-iz)/(1+iz)=i(-i-z)/i(-i+z)=-(z+i)/(z-i)=-1/z'
b) je vous laisse faire
bon courage
Je vous demande pardon!! je n'ai pas eu le temps de vous répondre!!
Je tiens à vous remercier!!
C'était très gentil à vous de m'aider!
J'espère que vous pourrez me répondre:
je ne comprend pas pourquoi
|i-z|=|z-i| et |-i-z|=|z+i|
mais aussi cette phrase:
si z est réel a alors MA/MB= (1+a²)/(1+a²)=1
donc OM'=1 donc M' appartient au cercle unité de centre O et de rayon 1. Car je n'ai jamais vu cette propriété.
vOUS serait il possible de me donner uniquement les coordonnées des différents POINTS juste pour que je vérifie mes calculs svp?
Bonsoir vous aviez répondu à un de mes problèmes et j'aimerais savoir si vous pouviez me venir en aide à nouveau sur le post "problème; nombres complexes"
merci
*** message déplacé ***
rebonjour LiLiMoi
|i-z|=|-(z-i)|=|z-i| , car |Z|=|-Z| un complexe et son opposé ont le même module.
|-i-z|=|-(z+i)|=|z+i| ; pour la même raison
si z est réel: z=a élément de R.
donc |z-i|=|a-i|=rc(a²+1)
et |z+i|=|a+i|=rc(a²+1)
donc OM'=rc(a²+1)/rc(a²+1)=1
remrquez au passage que j'ai fait une erreur c'est rc(a²+1) et non pas a²+1.
Mais le résultat reste le même.
module de z'1,z'2,z'3=rc2
un argument de z'1= 3
/4
de z'2= pi/4
de z'3= 3pi/4
Donc pr les relations G mis:
|z'1|=|z'2|=|z'3|=|z'|
arg(z'1)=-3(arg(z'))
arg z'2= -arg(z')
arg z'3= -3arg z'
En ce qui concerne les placements de points.Pour la justification j'ai mis
par exemple M1 a pour affixe 2 - i <=< Vecteur M1= 2 vecteur u - 1 vecteur v
Mais je pense qu'il faudrait plutot mettre vecteur OM1 à chaque fois.
pr M2 : -2u - 1v
M3 : je n'ai pas trouvé
M'1: 1u - 1v
M'2 : 1u + 1v
M'3: -1u + 1v
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