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Nombres complexes : résoudre dans C
Bonsoir, j'ai l'exercice suivant à faire et je ne comprend pas comment le résoudre ?
Résoudre dans C, sachant qu'elle admet une solution imaginaire pur :
z^3+(1+2i)z^2+(1-2)z-2i=0
Merci de m'aider =)
bonsoir,
solution imaginaire pure veut dire de la forme z= i*b
tu remplaces z par i*b dans l'équation et tu tu trouves le b
Idée : mais est-ce la bonne ?
Faire une division euclidienne par X-ai pour avoir une condition sur a par nullité du reste.
Heu excusez-moi mais je comprend rien à ce que vous me dites ?!? 
Malgré ça je vais d'abord essayer le technique de vous raptor
Mais si vous pouviez détailler vos explication car mon prof de math ne m'a jamais parlé de ça ...
z^3+(1-2i)z^2+(1-2i)z-2i=0
(ib)^3+(1-2i)(ib)^2+(1-2i)(ib)-2i=0
-b+1b-2ib+1ib+2b-2i=0
-ib+2b-2i=0
b(-i+2)-2i=0
b(-i+2)=2i
b=(2i)(+i+2)/(-i+2)(+i+2)
b=-2+4i/5
....
Voilà j'ai déjà fait cela mais je ne sais pas si c'est juste ?
La méthode de polytoga ne serait-elle pas plus rapide ?
Non : laseconde ligne est fausse (un - pour un +)
Par ailleurs b doit être réel, or ta dernière ligne ...
z^3+(1-2i)z^2+(1-2i)z-2i=0
(ib)^3+(1-2i)(ib)^2+(1-2i)(ib)-2i=0
-b-b^2-2ib^2+ib+2b-2i=0
Est ce que ces lignes sont juste ? le b^2 est-il justifié ici ?
et les .... de ma dernière ligne signifient que je ne sais plus comment faire après...
z + 
) = le polynôme ?
bon je retenterai d'essayer de trouver la solution de cette équation demain, avec votre aide peut être mais pour l'instant il me faut me coucher.
Encore merci pour vos efforts d'explication.
Bonne nuit.
Correction.
Soit P le polynôme z^3+(1-2i)z^2+(1-2i)z-2i=0
Pour que ça marche j'ai dû utiliser le polynôme par lequel tu as commencé tes calculs, non celui de l'énoncé. Ce n'est pas gentil de ne pas annoncer les erreurs d'énoncé (il y a une différence de signe)!
Soit ib (b 
) une éventuelle racine imaginaire pure.
P(ib) = (ib)3 + (1-2i)(ib)2+(1-2i)(ib)-2i
= -ib3 - (1-2i)b2 +(1-2i)ib -2i
= -ib3 - b2 + 2ib2 +ib +2b - 2i
= - b2 +2b + i[-b3 +2b2 +b -2]
On a séparé les parties réelle et imaginaires.
Si ib est racine, ib annule les deux.
Pour annuler la partie réelle il faut que b=0 ou b=2 ; 0 ne convient pas car 0i=0 n'est pas racine. Donc b=2. Cela devrait suffire puisque l'énoncé affirme qu'une telle racine existe. Vérifions malgré tout que
-23 +2.22 +2 -2 = 0
Ce n'est pas tout. On te demande de résoudre, donc de trouver toutes les racines.
Tu écris P(z) = (z-2i)(Az2 + Bz + C)
Tu développes, et par identification des coefficients tu trouves
A=B=C=1
Soit
P(z) = (z-2i)(z2 + z +1)
Les racines de P sont donc 2i et les racines de (z2 + z +1).
Le discriminant en est -3, dont les racines (dans l'autre sens du mot) sont i
3 et -i3.
Les racines de l'équation sont donc
½(1-i3) et ½(1+i(3)
Autrement dit :
P(z) = (z - 2i)(z - ½[1-i3])(z - ½[1+i3])
Mais je voulais quand même savoir : si dans la consigne on m'avait dit que la solution était un réel pur on aurait remplacé par x ?
Bon dimanche,
Le polynôme complexe du 3 éme degré degré proposé
peut 's'attaquer' de manière directe,je m'explique:
Je suis parti de
1)La racine complexe
*************************
Scindons le polynômes en deux parties,selon les puissances
attendues de i :
impair (1)
pair
z=2i doit annuler (1)
2)La racine réelle
*********************
Deux parties:
réelle (2)
imaginaire (3)
voir les racines de (3) dans(2) ...
La méthode marche pour le 4 éme degré
Alain
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