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Nombres Complexes SVP

Posté par
Belge-FDLE 20-10-04 à 16:14

Salut à tous ,

Bon, en fait j'aurais besoin d'aide pour un exo que 'on a fait sur les complexes, mais sur lequel j'ai calé à une question. Je vous le propose donc en espérant que vous pourrez éclairer ma lanterne :

On considère le nombre complexe : 2$z~=~\sqrt{2-\sqrt{2}}-i\sqrt{2+\sqrt{2}}
1-Calculer 2$z^2 et 2$z^4.
Jusque là, ça va, je suis arrivé à le faire .
On a :

2$\rm~z^2~=~(\sqrt{2-\sqrt{2}}-i\sqrt{2+\sqrt{2}})^2
2$\rm~z^2~=~2-\sqrt{2}-2i(\sqrt{2-\sqrt{2}}\sqrt{2+\sqrt{2}})-(2+\sqrt{2})
2$\rm~z^2~=~-2\sqrt{2}-2i\sqrt{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}
2$\rm~z^2~=~-2\sqrt{2}-2i\sqrt{4-2}
2$\rm~z^2~=~-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}i

et

2$\rm~z^4~=~(z^2)^2
2$\rm~z^4~=~(-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}i)^2
2$\rm~z^4~=~(-(2\sqrt{2}+2\sqrt{2}i))^2
2$\rm~z^4~=~(2\sqrt{2}+2\sqrt{2}i)^2
2$\rm~z^4~=~4\times2~+~2(2\sqrt{2})^2i~-~4\times2
2$\rm~z^4~=~2\times4\times2i
2$\rm~z^4~=~16i

2-Déterminer le module et un argument de 2$z^4
Ça aussi j'y suis arrivé .
On a :

2$\rm~|z^4|~=~|16i|~=~16

d'où 2$\rm~z^4~=~16(0+i)
donc 2$\rm~\{{cos(arg(z^4))=0\\sin(arg(z^4))=1}~~~~SSI~arg(z^4)~=~\frac{\pi}{2}[2\pi]

3-En déduire le module et un argument de z
Voilà, en fait, c'est ici que ça se corse. Voici comment j'ai procédé.
On a vu que :

2$\rm~z^4~=~16[cos(\frac{\pi}{2})+i~sin(\frac{\pi}{2})]
2$\rm~z^4~=~2^4[cos(4\frac{\pi}{8})+i~sin(4\frac{\pi}{8})]

d'où, d'après la formule de Moivre :
2$\rm~z^4~=~\big(2[cos(\frac{\pi}{8})+i~sin(\frac{\pi}{8})]\big)^4
donc 2$\rm~z~=~2[cos(\frac{\pi}{8})+i~sin(\frac{\pi}{8})]

On en déduisait facilement que : 2$\rm~|z|=2 et 2$\rm~arg(z)=\frac{\pi}{8}.
Le problème, c'est que, bien que le module soit juste, l'argument est faux (essayez de placer le point 2$z~=~\sqrt{2-\sqrt{2}}-i\sqrt{2+\sqrt{2}}~\approx~~0,76-1,85i dans un plan complexe pour vous en convaincre ) et je n'arrive pas à comprendre pourquoi.
Si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait très simpas. J'ai d'ailleurs aussi essayé de la manière suivante :

2$\rm~arg(z)~=~arg(\frac{z^4}{z^3})
2$\rm~arg(z)~=~arg(z^4)-arg(z^3)
2$\rm~arg(z)~=~arg(z^4)-3~arg(z)
2$\rm~4~arg(z)~=~\frac{\pi}{2}[2\pi]
2$\rm~arg(z)~=~\frac{\pi}{8}[2\pi]

Je tombe sur le même résultat... .

4-Déterminer la valeur exacte de 2$sin(\frac{3\pi}{8}) et de 2$cos(\frac{5\pi}{8}).
C'est la dernière question de l'exercice. Je la mets au cas où, elle pourrait vous mettre sur la voie pour mieux trouver la question 3).
Pour ma part, cette question me trouble, dans le sens où elle semble plutôt confirmer mon résultat faux de la 3ème question.
Je m'explique : si on avait bien :
2$\rm~z~=~2[cos(\frac{\pi}{8})+isin(\frac{\pi}{8})],

alors, en mettant en relation cette expression avec sa forme algébrique donnée par hypothèse :
2$z~=~\sqrt{2-\sqrt{2}}-i\sqrt{2+\sqrt{2}},

on pouvait facilement déduire les valeurs de 2$sin(\frac{\pi}{8}) et de 2$cos(\frac{\pi}{8}).

Après cela, on aurait pu remarqué que :

2$sin(\frac{3\pi}{8})~=~sin(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4})
et
2$cos(\frac{5\pi}{8})~=~cos(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{2})

Ensuite, il aurait suffit d'utiliser les formules trigonométriques.
Mais bon, comme mon résultat de la troisième question est faux, je suis bloqué .

Merci d'avance pour votre aide .

À +

Posté par
watikre : Nombres Complexes SVP 20-10-04 à 17:13

Bonjour
permettez moi de vous aider.
Les Solutions des Questions 1 et 2 sont bien .

3) lorsque vous avez trouvé:
z^4=16exp(iPi/2) pour passer à z vous êtes en fait en train de chercher les racines quatrième de z^4 qui sont en nombre de 4 dont une correspond à z.

cherchez donc les racines quatrièmes de z^4 et identifiez ensuite celle qui correspond à z.

4) 3Pi/8 devrait être l'argument que vous cherché pour z. ( à coup sûr) .

si c'est bien la cas vous n'avez plus qu'à conclure votre exo que vous avez si bien commencé.

bon courage.

Posté par
Belge-FDLEMerci beaucoup 20-10-04 à 18:54

Merci beaucoup ,

En effet, vous avez tout à fait raison. J'ai été légèrement trop vite sur ce passage .
J'ai remarqué d'ailleurs qu'en jouant sur la périodicité, on arrivait à retrouver les 4 racines.
En reprenant ma seconde méthode, on a :

3$\rm~arg(z)~=~arg(\frac{z^4}{z^3})
3$\rm~arg(z)~=~arg(z^4)-arg(z^3)
3$\rm~arg(z)~=~arg(z^4)-3~arg(z)
3$\rm~4~arg(z)~=~\frac{\pi}{2}[2\pi]
3$\rm~4~arg(z)~=~\frac{\pi}{2}+2k\pi~~~~~~(k~\in~~\mathbb{Z})
3$\rm~arg(z)~=~\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{4}~~~~~~(k~\in~~\mathbb{Z})
3$\rm~arg(z)~=~\frac{\frac{\pi}{2}}{~~4~~}+\frac{2k\pi}{4}~~~~~~(k~\in~~\mathbb{Z})
3$\rm~arg(z)~=~\frac{\pi}{8}+\frac{1}{2}k\pi~~~~~~(k~\in~~\mathbb{Z})
3$\rm~arg(z)~=~\frac{\pi}{8}~[\frac{1}{2}k\pi]

donc 3$\rm~arg(z)~=~\frac{\pi}{8}~ou~\frac{5\pi}{8}~ou~-\frac{3\pi}{8}~ou~-\frac{7\pi}{8}

Parmis ces solutions, celle qui convenait était, comme vous me l'avez fait remarquer la suivante :
3$\rm~arg(z)~=~-\frac{3\pi}{8}

On peut à présent attaquer la question 4 plus facilement .

4-Déterminer la valeur exacte de 2$sin(\frac{3\pi}{8}) et de 2$cos(\frac{5\pi}{8}).
On sait que :
2$z~=~\sqrt{2-\sqrt{2}}-i\sqrt{2+\sqrt{2}}~=~2(\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}+i\frac{-\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2})
et
2$\rm~z~=~2[cos(-\frac{3\pi}{8})+isin(-\frac{3\pi}{8})]

En procédant par identification, on trouve :

2$\rm~\{{cos(-\frac{3\pi}{8})=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\\sin(-\frac{3\pi}{8})=\frac{-\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}

Or, on sait que 2$sin(-x)=-sin(x).
On en déduit que :

2$sin(\frac{3\pi}{8})=-sin(-\frac{3\pi}{8})
2$sin(\frac{3\pi}{8})=-(\frac{-\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2})
2$sin(\frac{3\pi}{8})=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

De même, on sait que 2$cos(x+\pi)=-cos(x).
On en déduit donc que :

2$cos(-\frac{3\pi}{8}+\pi)=-cos(-\frac{3\pi}{8})
2$cos(\frac{5\pi}{8})=-(\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2})
2$cos(\frac{5\pi}{8})=\frac{-\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

Et le tour est joué .



==========
"RÉCIPROQUE" DE LA FORMULE DE MOIVRE :D
Pour ceux que ça intéresse , je pense, vu ce que j'ai fait à la question 3, que c'est bon .

Il est vrai que si :
z~=\rho(cos(\theta)~+~i~sin(\theta))
alors, z^n~=~\rho^n~(cos(n\theta)~+~i~sin(n\theta))

En revanche, si:
z^n~=~\rho^n~(cos(n\theta)~+~i~sin(n\theta))
alors
z~=~\rho(cos(\alpha)~+~i~sin(\alpha)

avec 3$\rm~\alpha~=~\theta[2\pi]~~~ou~~~(\theta+\frac{2\pi}{n})[2\pi]~~~ou~~~(\theta+2\frac{2\pi}{n})[2\pi]~~~ou~......~ou~~~(\theta+(n-1)\frac{2\pi}{n})[2\pi]

Ce qui signifie qu'il existe n solutions distinctes (dans 2$\mathbb{C}) à l'équation :
\rm~z^n~=~z
==========



Je vous remercie une fois de plus pour votre aide .

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