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Nombres complexes z = 1-itan

Posté par
Nnyep 27-09-15 à 16:58

Bonjour, je suis bloqué sur un exo vraiment bête.

Je dois mettre sous la forme trigo le complexe z = 1 - i\tan{\theta}

Je veux juste qu'on me mette sur la bonne voie. Merci.

Posté par
Jalexre : Nombres complexes z = 1-itan 27-09-15 à 17:03

Bonjour

Peux-tu calculer le module et l'argument de z ?

Posté par
Nnyepre : Nombres complexes z = 1-itan 27-09-15 à 17:12


Comment ça ?

Je peux le faire mais je vois toujours pas :/

|z| = \sqrt{1^2+\tan^2{\theta} \\ \cos{\theta} = \frac{1}{1+\tan{\theta}^2} \\ \sin{\theta} = \frac{\tan{\theta}}{1+\tan{\theta}^2}

Posté par
luzakre : Nombres complexes z = 1-itan 27-09-15 à 17:42

Bonsoir !
Si z=x+iy,\;(x,y)\in\R^2 tu as |z|=\sqrt{x^2+y^2} : ce que tu as écrit est correct. Mais tu peux simplifier puisque \dfrac1{\cos^2\theta}=??? (révises tes formules de trigonométrie).

Si tu notes u l'argument (il ne faut pas l'appeler \theta puisque ce réel est donné par l'énoncé) tu auras donc z=|z|(\cos u+i\sin u) et tu dois pouvoir calculer \cos u,\;\sin u.

Posté par
Nnyepre : Nombres complexes z = 1-itan 27-09-15 à 18:07

Merci pour la réponse =D

Du coup maintenant j'ai ça :

|z| = \sqrt{1+\tan^2{\theta}} = \frac{1}{\cos{\theta}}

\cos{u} = \cos{\theta}

\sin{u} = -\sin{\theta}

Et j'obtiens :

\frac{1}{\cos{\theta}} \times (\cos{\theta}-i\sin{\theta}) = \frac{e^{-i\theta}}{\cos{\theta}}

Posté par
Jalexre : Nombres complexes z = 1-itan 27-09-15 à 18:39

Donc |z| = \frac{1}{|\cos\theta|} et pour trouver l'argument u,
c'est plus simple d'utiliser \tan(u) = -\tan\theta...


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