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Niveau autre
Nombres de Bernoulli
Posté par tealc
Bonsoir à tous!
Petit résumé : étant disons "accroc" à la fonction zéta ( ), je souhaite écrire un papier sur celle ci.
Aujourd'hui, je m'intéresse à la valeur de celle ci aux entiers pairs, et souhaite démontrer le résultat classique que pour est rationnel.
Pour cela, je m'intéresse donc aux nombres de Bernoulli donc voici la définition :
et on a la relation
.
On a de plus
Mon but : je souhaite montrer que la série entière définissant a un rayon de convergence > 0 (pour pouvoir conclure pour mon résultat)
Pouvez vous m'aidez? (lorsque j'aurai fini ma démonstration de ce résultat, je mettrais mon papier dans ce topic pour les intéresser...)
Merci à toutes et à tous!
Antoine
OK ! Il se peut que je sorte l'artillerie lourde mais bon j'expose mon idée et ensuite on pourra regarder si l'on peut faire autrement.
Considérons la fonction (avec z complexe).
Cette fonction est prolongeable par continuité en 0 en une fonction holomorphe sur .
De plus, en 0, elle vaut 1. En particulier, par continuité de f en 0 il existe un réel r strictement postif tel que f ne s'annule pas sur la boule ouverte de rayon r et de centre 0.
Ainsi, est holomorphe sur cette même boule et donc développable en série entière avec un rayon de convergence au moins égal à r.
Kaiser
Merci kaiser!
je n'avais pas penser à prouver que la fonction est holomorphe sur une boule centrée en l'origine... j'oublie toujours le théorème de Cauchy... Donc merci beaucoup pour ta réponse!!
(remarque : si certaines personnes ont d'autres preuves sans analyse complexe, ca m'interesse aussi!)
Je propose une autre méthode.
Si je ne me trompe pas, on peut montrer par récurrence sur n que pour tout entier naturel n, auquel cas, on aura une minoration du rayon de convergence par 1.
Le problème kaiser c'est que je n'arrive justement pas à montrer ce résultat... car si ceci est "facile" à montrer, cela sera plus élémentaire que d'utiliser l'analyse complexe...
Bonsoir !
peut-etre par une recurence forte :
Initialisation, |Bo| <= 1 = 0!
Bn+1 = -1/(n+1) * somme des (j parmi n+1)*Bj de 0 a n
|Bn+1| <= 1/n+1 * somme des (j parmi n+1)*j! de 0 a n
or (j parmi n+1)*j! = (n+1) ! / (n+1-j) ! <= (n+1)!
d'ou Bn+1 < (n+1) !
et apres par recurence...
Bonsoir;
Ksilver,si je ne me trompe je crois qu'on a plutôt et si on opte pour la récurrence forte comme tu l'as suggéré on a
