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Nombres de Fermat
Posté par Aracneon
Bonsoir,
J'ai démontré au préalable que pour tout x différent de 1, si k est un entier impair alors x^k + 1 était divisible par x + 1.
Je l'ai fait en utilisant les congruences modulo x + 1.
Le problème c'est que maintenant on me demande d'en déduire que pour x différent de 1, si k n'est pas une puissance de 2 alors x^k + 1 n'est pas premier...
J'ai beau me creuser la tête je trouve pas !
J'ai essayé de repartir sur mes congruences mais je ne démontre rien sur une congruence modulo x + 1, dans la mesure que d'après mes calculs le reste dans la division euclidienne de x^k + 1 par x + 1 est égal à 2:
xk ≡ (-1)k [x + 1]
<=> xk + 1 ≡ (-1)k + 1 [x + 1]
<=> xk + 1 ≡ (-1)2[sup]nq[/sup] + 1 [x + 1] avec q entier impair et n entier
<=> xk + 1 ≡ ((-1)2[sup]n[/sup])q + 1 [x + 1]
<=> xk + 1 ≡ 1q + 1 [x + 1] (-1)2[sup]n[/sup] = 1 car 2n paire
<=> xk + 1 ≡ 2 [x + 1]
Soit je suis parti sur la mauvaise piste, soit j'ai fait une grosse erreur de calcul quelque part...
Je tiens à préciser que ce sujet s'inscrit dans un exercice de spécialité Maths sur les nombres de Fermat, avec pour propriété donnée que 2^(2^n) + 1 est un nombre premier selon la conjecture de Fermat.
Merci d'avance !
Cordialement,
Aracneon
Bonsoir,
Je pense avoir trouver le problème, voici ma démonstration:
xk ≡ (-1)k [x + 1]
<=> xk + 1 ≡ (-1)k + 1 [x + 1]
<=> xk + 1 ≡ (-1)2[sup]n + q[/sup] + 1 [x + 1] où q appartient à Z tq 2[sup]n + q[/sup] >= 0 et q impair
<=> xk + 1 ≡ (-1)q + 1 [x + 1] car (-1)2[sup]n[/sup] est pair
Or nous avons démontré que pour tout k impair, xk + 1 ≡ (-1)k + 1 ≡ 0 [x + 1]
Donc si k est n'est pas une puissance de deux, xk + 1 ≡ 0 [x + 1]
Donc x + 1 | xk + 1 donc xk + 1 n'est pas premier.
Si quelqu'un peut valider la rédaction et le raisonnement ce serait super sympa =) merci d'avance !
salut
les congruences ne servent pas pour la question 1/ ...
ta première égalité (congruence) d'où vient-elle ?
si c'est pour la question 2/ alors c'est inutile puisque la question 1/ donne la réponse ...
quelle est la définition d'un nombre premier ?
La première congruence vient de là:
x ≡ -1 [x + 1]
xk ≡ (-1)k [x + 1]
Est-ce faux ?
Pour la lisibilité je ne sais pas comment faire, le problème c'est que j'ai des exposants d'exposants et que le BBCode ne semble pas le prendre en compte... désolé.
Un nombre premier est un entier dont les seuls diviseurs sont 1 et l'entier lui-même, sans quoi le reste dans la division euclidienne par un autre nombre sera strictement différent de 0.
Citation :
si c'est pour la question 2/ alors c'est inutile puisque la question 1/ donne la réponse ...
si c'est pour la question 2/ alors c'est inutile puisque la question 1/ donne la réponse ...
Je ne comprends pas ceci, pouvez-vous détailler la démarche ?
Citation :
1/ ... enfin j'aimerai bien voir ...
1/ ... enfin j'aimerai bien voir ...
x ≡ -1 [x + 1]
xk ≡ (-1)k [x + 1]
xk + 1 ≡ (-1)k + 1 [x + 1] or k est impair d'où:
xk + 1 ≡ -1 + 1 [x + 1]
xk + 1 ≡ 0 [x + 1]
Donc x + 1 | xk + 1 pour tout k impair.
Cela ne fonctionne pas ?