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Nombres de Fermat

Posté par
Yona07 16-10-21 à 16:35

Bonjour!

Soit a et n deux entiers positifs non nuls. On suppose que n2. Montrer que:
1/ Si a^n+1 est premier et a2, alors n est pair.
2/ Si a^n+1 est premier et a2, alors a est pair et n est une puissance de 2.

Merci d'avance.

Posté par
carpediemre : Nombres de Fermat 16-10-21 à 16:38

salut

et que sais-tu des nombres premiers ?

Posté par
Yona07re : Nombres de Fermat 16-10-21 à 16:45

Concernant 1,
J'ai supposé que n est impair. Par la suite , j' ai eu
a^n+1=a^n-(-1)^n= (a+1)\sum_{k=0}^{n-1}{a^{n-1-k}(-1)^k}
En fait, a^n+1 est premier (et positif) alors soit (a+1)=1 soit \sum_{k=0}^{n-1}{a^{n-1-k}(-1)^k}=1.

1er cas:
Si \sum_{k=0}^{n-1}{a^{n-1-k}(-1)^k}=1, c-à-d: a^{n-1}-a^{n-2}+a^{n-3}+....+1=1 alors: a=0 ou n=1 (or a2 et n2) (absurde)

2ième cas:
Si a+1=1  alors a=0 or a2 (absurde).

Conclusion: Si a^n+1 est premier et a2 alors n est pair.

Posté par
Yona07re : Nombres de Fermat 16-10-21 à 16:48

carpediem @ 16-10-2021 à 16:38

et que sais-tu des nombres premiers ?

Salut!
Qu'ils ont exactement deux diviseurs dans N et qu'ils sont tous impairs sauf 2.. Le théorème de Fermat, plusieurs propriétés...

Posté par
Yona07re : Nombres de Fermat 16-10-21 à 16:50

Concernant 2,
La parité de a est évidente, mais je ne sais par quoi procéder pour démontrer que n est une puissance de 2..

Posté par
carpediemre : Nombres de Fermat 16-10-21 à 16:58

ok donc réglons vite une situation :

que sais-tu du produit de deux nombres impairs ? et donc de a^n si a est impair ?

à 16h45 : ouais ça semble pas mal ...

Posté par
Yona07re : Nombres de Fermat 16-10-21 à 17:06

Le produit de deux nombres impairs est impair.
Si a est impair alors a^n est impair si n est impair (même si n est pair).

Posté par
carpediemre : Nombres de Fermat 16-10-21 à 17:21

Yona07 @ 16-10-2021 à 17:06

Le produit de deux nombres impairs est impair.
Si a est impair alors a^n est impair si n est impair (même si n est pair).
oui et donc a^n + 1 est ...

or le seul premier pair est donc ...

Yona07 @ 16-10-2021 à 16:45

1er cas:
Si \sum_{k=0}^{n-1}{a^{n-1-k}(-1)^k}=1 \iff a^{n-1}-a^{n-2}+a^{n-3}+....+ {\red (-1)^{n - 1} }=1 alors: a=0 ou n=1 (or a2 et n2) (absurde)

Posté par
Yona07re : Nombres de Fermat 16-10-21 à 17:26

carpediem @ 16-10-2021 à 17:21


oui et donc a^n + 1 est ...
or le seul premier pair est donc ...

a^n + 1 est pair, or le seul premier pair est 2

Posté par
Yona07re : Nombres de Fermat 16-10-21 à 17:28

Donc a^n =1, ainsi  a=1 ou n =0. Or, a,n 2..

Posté par
Yona07re : Nombres de Fermat 16-10-21 à 20:48

carpediem @ 16-10-2021 à 16:58


que sais-tu du produit de deux nombres impairs ? et donc de a^n si a est impair ?


Cette question concerne la parité de a dans 2, non? En fait, en supposant que a est impair on aboutit à la contradiction dans mon message de 17:28...

Pouvez-vous me donner des indications pour montrer que n est une puissance de 2?

Posté par
carpediemre : Nombres de Fermat 16-10-21 à 21:10

écris que n = 2^kq avec q impair ... et utilise la même idée qu'en 1/

en fait dans 1/ si on note P et Q les propositions :
P : a^n + 1 est premier et n >= 2
Q : n est pair

et on veut démontrer : si P alors Q

donc par contraposée si non Q alors non P

mais non P : a^n + 1 n'est pas premier ou n < 2

ce que tu as fais ... en montrant qu'elle était fausse ...

Posté par
Yona07re : Nombres de Fermat 16-10-21 à 21:36

carpediem @ 16-10-2021 à 21:10



en fait dans 1/ si on note P et Q les propositions :
P : a^n + 1 est premier et n >= 2
Q : n est pair

et on veut démontrer : si P alors Q

donc par contraposée si non Q alors non P

mais non P : a^n + 1 n'est pas premier ou n < 2

ce que tu as fais ... en montrant qu'elle était fausse ...


J'ai montré que la négation de si P alors Q est fausse (P et nonQ := a^n +1 est premier et n est impair) non?

Posté par
Yona07re : Nombres de Fermat 16-10-21 à 22:05

carpediem @ 16-10-2021 à 21:10

écris que n = 2^kq avec q impair ... et utilise la même idée qu'en 1/


Supposons que n n'est pas une puissance de 2. Alors il existe un entier impair q différent de 0 et 1 tel que: n=2^kq

On a:

a^n+1=a^{2^kq}+1=(a^{2^k})^q-(-1)^q=(a^{2^k}+1)\sum_{h=0}^{q-1}{(a^{2^k})^{q-1-h}(-1)^h}

D'ailleurs : a^n+1 est premier, alors:
soit a^{2^k}+1=1
soit \sum_{h=0}^{q-1}{(a^{2^k})^{q-1-h}(-1)^h}=1

Si a^{2^k}+1=1 alors a^{2^k}=0 \Rightarrow a=0, or a2

Si \sum_{h=0}^{q-1}{(a^{2^k})^{q-1-h}(-1)^h}=1 c-à-d:
(a^{2^k})^{q-1}-(a^{2^k})^{q-2}+(a^{2^k})^{q-3}-...+(-1)^{q-1}=1 alors a=0 ou q=1 (or a2 et q2)

Posté par
Yona07re : Nombres de Fermat 16-10-21 à 22:21

Yona07 @ 16-10-2021 à 22:05


Si \sum_{h=0}^{q-1}{(a^{2^k})^{q-1-h}(-1)^h}=1 c-à-d:
(a^{2^k})^{q-1}-(a^{2^k})^{q-2}+(a^{2^k})^{q-3}-...+(-1)^{q-1}=1 alors a=0 ou q=1 (or a2 et q2)


Là, ne faut-il pas que j'explique pourquoi a=0 est l'un des cas possibles?

a^{2^k}est positif, et q-1>q-2, donc: (a^{2^n})^{q-1}>(a^{2^n})^{q-2} et par la suit:

(a^{2^n})^{q-1}-(a^{2^n})^{q-2}>0

Le nombre des termes de la somme est q (impair), en excluant le dernier terme (-1)^{q-1}, le nombre des termes qui restent est q-1 (pair) qui sont:
(a^{2^k})^{q-1}-(a^{2^k})^{q-2}+(a^{2^k})^{q-3}-...+(a^{2^k})^{2}-(a^{2^k})^{1}\geq 0 cette somme est égale à 0 si et seulement si a=0...
??

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres de Fermat 17-10-21 à 08:45

Bonjour,
Je me permets de répondre en l'absence de carpediem qui reprendra la main dès qu'il le voudra.

Pour le 2), on peut éviter tout calcul.
Au 1) a été démontré ceci :
Si N 2 et A 2 et AN premier alors N est pair.
Or, si n = 2kq, on peut écrire an = Aq en posant A = ...

Posté par
Yona07re : Nombres de Fermat 17-10-21 à 09:34

Bonjour,
En posant A=a^{2^k}.

Posté par
Yona07re : Nombres de Fermat 17-10-21 à 09:36

En fait, (a^{2^k}^)q+1=A^q+1 est premier et A2, donc d'après 1, q est pair (contradiction...)

Posté par
Yona07re : Nombres de Fermat 17-10-21 à 09:37

Yona07 @ 17-10-2021 à 09:36

(a^{2^k})^q+1=A^q+1


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