désolé je viens de me rendre compte de petites erreurs de frappe ( les [sup et [/sup) ils ne sont pas à prendre compte

Bonjour, je bloque sur cet exo sur les nombres de Fermat en math expert, j'aurais besoin d'aide svp!
Énoncé:

On considère un entier n≥1 et on définit l'entier Fn= 2^{2^n} +1 n-ième nombre de Fermat.

2) Soit p un nombre premier impair. on note k₀ le plus petit entier k non nul tel que 2^k≡ 1[p]. Justifier que k₀ existe, puis montrer que, pour tout entier ℓ non nul tel que 2^ℓ≡1[p], k₀ divise ℓ.

3) dans cette question, on suppose n≥5. Soit p un diviseur premier de F_n.

a) Justifier que p est impair, puis montrer que 2^{2^n}≡-1[p] et que 2^{2^n+1}≡1[p].

b) En utilisant le résultat à la question 2), en déduire que 2^{2^n+1} est le plus petit entier k tel que 2^k≡1[p].

c) Justifier que 2^p-1≡1[p].

d) En utilisant de nouveau le résultat à la question 2), déduire des questions précédentes que p ≡1[ 2^{2^n+1}].

4)En utilisant le résultat de la question précédente, déterminer un diviseur premier de F₅ inférieur à 1000.

Mes "tentatives" de réponse:

2) si k divise ℓ alors ℓ= m x k₀
2^ℓ≡1[p]
(2^ℓ)^m≡1^m[p]
2^k₀≡1[p]
donc on a bien montré que k₀ divise ℓ.

Le reste je n'y arrive pas du tout, on vient de débuter la leçon sur la congruence etc et le prof nous a donc donné cet exo à faire.

Merci d'avance pour toute aide!

*** message déplacé ***

Bonsoir
Tu n'as pas fait la toute première question, c'est à dire montrer l'existence de  
Tu peux utiliser le petit théorème de fermat

*** message déplacé ***

Je viens de lire ce que tu as écrit pour la suite de la question : c'est incorrect
Tu commences par admettre que    alors que c'est précisément ce qu'il faut démontrer

Commence plutôt comme ça :
Soit    un entier non-nul tel que
Puis écris la division euclidienne de    par   avec les bonnes conditions sur le reste et le quotient, et regarde ce qu'il se passe

*** message déplacé ***

Note aux modérateurs : à supprimer, posté en doublon ici : https://www.ilemaths.net/sujet-nombres-de-fermat-890512.html

Bonsoir,
@Zormuche,
Tu peux utiliser le bouton "Signaler un problème" pour ce genre de situation.

@MrGollum,
Tu aurais du retaper ton texte en restant dans le même sujet.

pardon erreur de frappe : 2^qk₀+r ≡ 1^qk₀+r [p]

Oui, mais en l'occurrence 1 élevé à n'importe quelle puissance vaut 1. Quant au membre de gauche, applique les opérations usuelles sur les puissances pour le transformer en autre chose
Aussi r est strictement inférieur à k0

En fait je ne sais pas pourquoi tu as élevé 1 à cette puissance car ça n'a pas lieu d'être. 2^(q*k0+r) est congru à 1 mod p, c'est tout

Pour la première question c'est juste l'application du petit théorème. Que dit-il ce petit théorème ?

Oui c'est ça, si le reste est nul cela signifie que k0 divise l

Après avoir bien mis en évidence (ce que tu n'as pas fait mais que tu as sûrement compris) que 2^r est congru à 1 mod p

Juste une petite précision pour la question 2)
Le cheminement est le suivant :
Une fois qu'on a établi que    et donc que   , on invoque le fait que    et la transitivité de la congruence pour conclure que  
Une fois cela fait, on peut raisonner sur la minimalité de    et le fait que    pour conclure que r=0 (car k_0 est minimal parmi les entiers non-nuls)

3)a) c'est bon mais la rédaction est bancale. Je préfère mettre la dernière phrase en premier (et ne mettre que celle-ci), elle illustre le principe de la contraposée

dans la suite de cette question j'arrive plus à comprendre. Tu écris successivement    et    ce qui voudrait dire par soustraction que p est multiple de 3, donc p=3, ça n'a pas de sens

Est-ce que la question 3)a) est bien :

puis montrer que    et que  
?

C'est pourtant faux, et je vais prendre l'exemple le plus simple donné par l'énoncé

pour n=5, le nombre de fermat est 4 294 967 297
Ce nombre n'est pas premier : 4 294 967 297 = 641 × 6 700 417
Prenons p = 641
On a bien 2^(2^5) congru à -1 mod p (c'est logique, et le plus facile à montrer)
Mais 2^(2^5+1) = 8589934592 n'est pas du tout congru à 1 mod 641 comme tu as écrit dans ton énoncé.
Il est congru à 639 mod 641 (donc à -2, ce qui est logique)

C'est bien ce que je pensais : On demande de montrer que    et non pas    

Le résultat est alors immédiat

J'anticipe tout de suite la question 3)b)

En reprenant ma notation ensembliste de tout à l'heure, je note    l'ensemble des entiers non-nuls    tels que  

Le résultat de 3)a) démontre que  . La question 2) dit alors que l'élément minimal    de cet ensemble divise    (en fait il faut voir comme   )

Bonjour,
Juste en passant : 2^{2^n} x 2² = 2^{(2^n)+2}

En LaTeX :

Je ne suis pas rentrée dans l'exercice.
Je me contente de t'aider pour répondre à "Qu'est-ce qu'on applique à 2^{2^n} pour le faire devenir 2^{2^(n+1)} ?".

Il y a un petit souci de LaTeX dans ton dernier message @Sylvieg



Je te laisse la suite

(je laisse à MrGollum le soin de faire la suite)

Merci Zormuche pour ta correction indulgente.
Je crois bien que je me suis mélangée les pinceaux en voulant isoler les exposants
Pour corriger l'erreur de MrGollum dans " 2^{2^(n+1)}= 2^{2^n} x 2² pardons j'ai oublié le 1 ",
j'aurais du me contenter d'écrire 2ⁿ⁺¹ 2ⁿ + 2 .

Merci pour votre aide à tous les deux !