Bonjour.

Je travaille actuellement sur les entiers de Gauss et j'ai quelques questions sur un exercice.
Je vous fournis tout de suite un énoncé complet - comme on me reproche parfois de ne pas donner assez d'informations dans le sujet, j'ai essayé de tout mettre donc il peut y avoir des choses qui ne servent pas directement pour répondre à mes questions mais au moins, ce sera plus clair.

SUJET :
On note Z{i} l'ensemble des entiers de Gauss tel que Z{i} = {a+ib, (a,b)Z²}.
Soit z et z' Z{i}. On dit que z divise z' dans Z{i} s'il existe w Z{i} tel que z'=zw.
Pour tout z de Z{i} on note N(z)=(module de z)².
On pose S={a²+b², (a,b)Z²}
P est l'ensemble des nombres premiers (dans Z).

(Z{i},+,x) est un anneau intègre. On a montré que N(zw)=N(z)N(w) pour (z,w)Z{i}². Et l'ensemble des inversibles de Z{i} est l'ensemble U={i,-i,1,-1}.

Soit zZ{i}, on dit que z est irréductible si pour tout (z1,z2)Z{i}², z=z1*z2 z1U ou z2U.
Deux éléments z,w de z{i} sont dits associés s'il existe uU tel que w=z*u.
On note Z{i}⁺ = {a+ib, a>0, b0}.

Question 1
Soit zZ{i} non nul et non inversible. Montrer que z n'est pas irréductible ssi il existe (u,v)Z{i}² avec N(u)<N(z) et N(v)<N(z) et z=uv.

J'ai réussi je pense à montrer l'implication gauchedroite.
J'ai écrit la négation de "z est irréductible" :
(z1,z2)Z{i}², z=z1z2 et z1,z2U.
Du coup il suffit de poser u=z1 et v=z2 et on a bien z=uv.
Et on fait le module au carré de z on trouve que c'est (module de u)²*(module de v)² et comme z non nul, tout est positif et on a bien N(u)<N(z) et N(v)<N(z).

J'ai du mal pour l'implication droite gauche.
Comment montre-t-on que z n'est pas irréductible à partir de la condition N(u)<N(z) et N(v)<N(z) ?

On admet que zZ{i} admet une décomposition en produit de facteurs irréductibles (comme dans Z où nN admet une décomposition en produit de facteurs premiers) de la forme z=u.z1^a1...zR^aR où z1,...,zR sont irréductibles, positifs et différents de 1, uU.

Question 2
Soit z Z{i} irréductible. Écrire la décomposition primaire de N(z) (0) et montrer qu'il existe pP tel que z divise p. En déduire que N(z)=p ou N(z)=p².

J'ai écrit z=a+ib d'où N(z)=a²+b² et donc N(z) admet une décomposition primaire dans Z p1^a1...p2^aR. Donc il existe p premier tel que p divise N(z) donc N(z)=p.
Comment montrer que N(z)=p² aussi ?
Et pourquoi z divise p ? J'ai pensé à une erreur dans l'énoncé car c'était plutôt p divise z pour moi mais je peux me tromper.

Un grand merci par avance pour vos réponses.
Il n'est pas spécialement nécessaire de m'indiquer des sites sur le Net, j'ai déjà bien cherché et je n'ai rien trouvé, d'où mon sujet.


Etcha66