Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Nombres Premiers
Soit a et b deux entiers naturels et le nombre : N = a^4 + 4b^4
1) Démontrer l'égalité de Sophie Germain : N=(a²+2b²+2ab)(a²+2b²-2ab) (j'ai fait cette question)
2)Montrer que pour b supérieur ou égal à 2, N n'est jamais premier.
3) Pour b= 1, le nombre N peut-il est premier ?
4) Montrer que 1207^4 + 4^1205 n'est pas un nombre premier.
3) b=1
N=a^4+4=(a²+2a+2)(a²-2a+2) produit de 2 nombres
sera premier su un des 2 nombres vaut 1
(a²+2a+2)(a²-2a+2) = ( (a+1)²+1 )( (a-1)²+1 )
vaudra 1 si a=1 => N=1^4+4 => N=5
Vérifies...
Philoux
2)Montrer que pour b supérieur ou égal à 2, N n'est jamais premier.
N=(a²+2b²+2ab)(a²+2b²-2ab) = ( (a+b)²+b² )( (a-b)²+b² )
chacun des termes est >= b²
donc b>=2 => N est le produit de 2 termes entiers >=4 => N n'est pas premier
pour le 4) peux-tu vérifier ton énoncé ?
Philoux
N=(a²+2b²+2ab)(a²+2b²-2ab)
Si b >= 2
a²+2b²+2ab > 1 et entier puisque 2b² >= 4 et a² + 2ab >= 0
a²+2b²-2ab = a²+b²-2ab + b² = (a-b)² + b² somme de 2 carré dont l'un est >= 4 --->
Donc a²+2b²-2ab > 1 et entier
N est donc le produit de 2 nombres entiers différents de 1 --> N n'est jamais premier si b > 1
-----
Si b = 1 -->
N=(a²+2+2a)(a²+2-2a)
a²+2+2a > 1 et entier
N n'est premier que si a²+2-2a = 1 et (a²+2+2a) est premier.
soit si a²-2a+1 = 0
(a-1)² = 0
Donc si a = b = 1, mais on aurait alors N = a^4 + 4b^4 = 1 + 4 = 5
Et donc N est premier.
N est premier si a = b = 1
-----
1207^4 + 4^1205
= 1207^4 + 4*4^1204
= 1207^4 + 4*(4^301)^4
On peut donc mettre le nombre 1207^4 + 4^1205 sous la forme a^4 + b^4 avec a = 1207 et b = (4^301)
b est > 1 et donc N n'est pas premier.
-----
Sauf distraction. 
Attention pliloux, tu dis:
N=a^4+4=(a²+2a+2)(a²-2a+2) produit de 2 nombres
sera premier si un des 2 nombres vaut 1
----
Non, il faut qu'un des 2 nombres soit 1 ET que l'autre soit premier.
4) Montrer que N = 1207^4 + 4^1205 n'est pas un nombre premier.
1205=4*301+1
4^1205 = 4^(4*301+4) = (4^1)*(4^(4*301)) = 4*( (4^301)^4 ) = 4*( b^4 )
donc N = 1207^4 + 4^1205 = a^4 + 4*(b^4) où a=1207 et b=4^301
N = 1207^4 + 4^1205 n'est pas un nombre premier.
Philoux
En effet J-P 12:12 j'écris une bétise : l'autre terme étant premier (5) ça marche
Il faut donc dire que N ne sera pas pas premier si aucun des nombres ne vaut 1
C'est cà ?
Philoux
Annuler
connectez vous