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Niveau terminale
Nombres premiers
Posté par ach20003
Bonjour à tous,
Je bloque sur un exercice de nombres premiers.
L'énoncé est le suivant: déterminer les nombres premiers p pour lesquels p+2 et 2p2+p-4 sont premiers?
Il est conseillé de raisonner par disjonction des cas, et je suppose que cela suggère de travailler pour p+2 seul et 2p2+p-4 à part - le résultat final étant les solutions en communs.
Voilà la démarche que j'ai suivie: J'ai posé p nombre premier et j'ai affecté à p les plus petits nombres premiers (2,3,5,7,7..) histoire de voir si j'aurais une période pour p+2. (même chose pour 2p2+p-4) Je pense toutefois que je suis sur la mauvaise piste car cela n'aboutit à rien - il y a une infinité de nombre premiers et les essayer serait chose impossible Non?
Comment y remédier et trouver une forme générale de p pour laquelle 2+p et 2p2+p-4 sont premiers?
Merci d'avance pour votre aide
Bonjour,
il n'y en a pas, de formules pour p et p+2 premiers
(c'est le problème célèbre des premiers jumeaux)
Par contre le problème suggère de chercher le PGCD de p+2 et 2p2+p-4
par les méthodes habituelles (division de polynôme, factorisation ou combinaison linéaire) et ... tu verras bien alors ce qu'il en est.
salut
Citation :
Il est conseillé de raisonner par disjonction des cas, et je suppose que cela suggère de travailler pour p+2 seul et 2p2+p-4 à part - le résultat final étant les solutions en communs.
absolument pas ...Il est conseillé de raisonner par disjonction des cas, et je suppose que cela suggère de travailler pour p+2 seul et 2p2+p-4 à part - le résultat final étant les solutions en communs.
en fait mon idée avec le PGCD tombe à l'eau car on prouve juste que on a toujours p+2 et 2p2+p-4 premiers entre eux (pour tout nombre p impair, premier ou pas)
autre idée :
quels sont les restes possibles modulo 6 des nombres premiers (≥5, 2 et 3 mis à part)
Bonsoir,
p nombre premier
si p
1 [3] alors (p+2) 0 [3] n'est pas premier
si p 2 [3] alors
2p^2+p-4 2*2*2+2-4=0
2p^2+p-4 n'est pas premier
J'allais dire :
c'est vrai que modulo 3 suffisait.
mais il ne faut pas négliger l'exception oubliée dans ce raisonnement. 
mais je le dis quand même. (si ça veut bien partir)
donc idée d'étude du problème :
p est premier ; p
2
soit p = 3 et alors ...
soit p 1 [3] et alors ...
soit p 2 [3] et alors ...