Bonjour, j'ai quelques problème avec une question de cet exercice :

On appelle « rep-units » les nombres entiers de la forme 11, 111, 1 111... On pose N₂ = 11, N₃ = 111, ... N_k = 11...1 avec k fois 1.

Dans toute la suite, p désigne un entier supérieur ou égal à 2.

1. a. Le nombre 1 111 est-il premier ? Si non, donner la décomposition en produit de facteurs premiers et indiquer le nombre de ses diviseurs.

b. Citer deux nombres premiers inférieurs à 10 qui n'apparaissent jamais dans la décomposition d'un rep-unit.

2. a. Justifier que, quel que soit n ≥ 2, 10ⁿ - 1 est divisible par 9.

b. Pour tout p ≥ 2, écrire N_p à l'aide de puissance de 10 puis montrer que : 9N_p = 10^p - 1

c. Déterminer les restes de la division euclidienne de 10ⁿ par 7 pour n entier et 0 ≤ n ≤ 6.

3. Le but de cette question est de déterminer des conditions suffisantes pour que N_p ne soit pas premier.

a. En utilisant 2. a., démontrer que si p est pair et supérieur ou égal à 4, alors N_p n'est pas premier.

Je vous donne mes réponses :

1-a) Le nombre 1111 n'est pas premier car, par exemple 1111 est divisible par 11 et par 101 car 1111/11=101, donc ce nombre possède 4 diviseurs, qui sont 1, 11, 101 et 1111 avec 11 et 101 qui sont des nombres premiers.

b)- 2 et 5 n'apparaissent jamais dans la composition d'un rep-units car un rep-units n'est jamais pair et donc jamais divisible par 2 et n'est jamais terminé par 0 ou 5 et donc pas divisible par 5.

2-a) 10ⁿ  avec n≥2  sera toujours du type 100, 1 000, 10 000, etc.… Et donc  10ⁿ-1 sera toujours du type 99, 999, 9 999, etc.… et donc toujours divisible par 9.

b)- N^p=10^p-1+10^p-2+10^p-3+...+10^p-p. N_p est donc la rep-units des nombres entiers de la forme 1, 11, 111, 1 111, etc.… Comme démontré en 2a, 10^p-1 est divisible par 9 et donc 9N_p=10^p-1.

c)- voir photo jointe

3-a) C'est ici que je rencontre des difficultés, je n'arrive pas à répondre à cette question

Merci d'avance pour votre aide