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Niveau Maths sup
nombres premiers congrus à 3 mod 4
Posté par basso (invité)
bonsoir bonsoir sur l'île !
Ce soir j'ai un petit souci avec les nombres premiers parce que je n'arrive pas à démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à 3 mod 4.
Alors on pourrait considérer, un peu sur le modèle de la démonstration de l'infinité des nombres premiers tout court, si q1, ..., qr est la liste des nombres premiers congrus à 3 mod 4, soit N= 4q1...qr+3. On peut ensuite considérer les diviseurs premiers de ce nombre.
On a bien sûr q1=3.
Si q est un diviseur premier de N, alors est soit congru à 1 soit congru à 3 mod 4 (q nécessairement différent de 2).
On a alors si q=3 [4], alors q|4q1...qr car q1=3 et q|N d'où q|3 ie q=3.
Mais pour arriver à une contradiction, je ne vois pas comment faire.
Merci de m'aider
Basso
Posté par basso (invité)re : nombres premiers congrus à 3 mod 4
petite rectif :
q|N-3 car q est nécessairement l'un des qi, rien à voir avec q1=3 ... 
Et puis je n'ai pas considéré le cas où q=1 [4] ...
N est congru à 3 modulo 4. Tout diviseur premier de N est impair, donc congru à 1 ou 3 modulo 4. Ils ne peuvent être tous congrus à 1 modulo 4, sinon leur produit, c'est-à-dire N, serait congru à 1 modulo 4 aussi. Donc N admet un diviseur premier congru à 3 modulo 4. Ce nombre n'est pas l'un des qi car ceux-ci ne divisent pas N. Donc c'est un autre nombre premier congru à 3 modulo 4.
Posté par basso (invité)re : nombres premiers congrus à 3 mod 4
ben si ... l'un des qi divise N : 3.
peut-être donc que 3 est le diviseur premier de N congru à 3 mod 4.
Par contre on pourrait faire le même raisonnement avec N'=4q2...qr+3. (en enlevant 3 du premier produit). On a N' qui a nécessairement un diviseur premier congru à 3 mod 4. Aucun des qi ne divise N' car aucun d'eux ne divise 3 (on a exclu 3 de la liste). En reprenant donc ton argument, on a donc nécessairement un autre nombre premier que ceux de la liste, qui ne peut être 3, qui divise N', d'où le résultat recherché.
Merci beaucoup de ton aide. Bonne soirée
Non. Le reste de la division euclidienne de N par l'un des qi est toujours 3, donc aucun qi ne divise N.