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Nombres premiers entre eux
Posté par pikozie
Bonjour à tous....
J'ai un sujet que j'ai cherché, mais qui me semble difficile...
Merci d'avance pour votre aide :
"Montrer que si deux nombres entiers naturels a et b sont premiers entre eux, il en est de même pour a+b et ab"
Bonsoir,
lake pas évident d'avoir cette idée
Ne serait-il pas possible de regarder un nombre premier p divisant a+ b et ab ?
Bonsoir co11 
Ce sujet est récurrent sur l' 
(et ailleurs).
En général, il donne lieu à des discussions qui n'en finissent plus.
C'est ma manière (un peu parachutée je le reconnais) mais tout à fait efficace et imparable de couper l'herbe sous le pied aux aficionados des discussions en question.
Bien sûr qu'on peut s'y prendre comme tu le proposes. C'est ce qui se fait habituellement. Tu vas "discuter" 
>>pikozie
Citation :
Oui ... Mais comment je peux montrer comment je suis arrivé là ?
Oui ... Mais comment je peux montrer comment je suis arrivé là ?
Tu y es "arrivée". C'est tout. Pas besoin de justifier quoique ce soit :
Tu as bel et bien trouvé
Que demander de plus ?
De rien pikozie
Il y a bien sur d'autres manières plus "classiques" (par exemple voir co11 au dessus) mais je refuse de m'y laisser entraîner
La "réciproque" est simple :
Si divise
et
, il divise
et
donc il divise
(puisque
et
sont premiers entre eux).
Donc et
et
sont premiers entre eux.
Bonjour pikozie,
De cet exercice, il y a, me semble-t-il, quelques "piliers" de l'arithmétique à intérioriser. J'ai toujours trouvé l'arithmérique très difficile, notamment parce que je n'arrivais pas à "intuiter" "Bézout".
Quelques trucs d'un "rescapé" de l'arithmétique:
- Toute combinaison linéaire conserve le pgcd: pgcd(a,b)=pgcd(a, b+na), n
. C'est le fondement de l'algorithme d'euclide. ça marche notamment avec la somme (n=1)
pgcd(a,b)=pgcd(a,b+a)
pgcd(b,a)=pgcd(b,a+b)
- si u et v sont copremiers avec w, alors u et v n'ont aucun facteurs premiers communs avec w, donc u
v non plus, autrement dit uv et w sont copremiers.
Conclusion:
si pgcd(a,b)=1
alors pgcd(a,b+a)=pgcd(b,a+b)=1
et donc pgcd(ab,a+b)=1
fabo34 @ 30-04-2022 à 18:17
- Toute combinaison linéaire conserve le pgcd: pgcd(a,b)=pgcd(a, b+na), n. C'est le fondement de l'algorithme d'euclide. ça marche notamment avec la somme (n=1)
pgcd(a,b)=pgcd(a,b+a)
pgcd(b,a)=pgcd(b,a+b)
non pas toute mais certaines - Toute combinaison linéaire conserve le pgcd: pgcd(a,b)=pgcd(a, b+na), n
. C'est le fondement de l'algorithme d'euclide. ça marche notamment avec la somme (n=1)
pgcd(a,b)=pgcd(a,b+a)
pgcd(b,a)=pgcd(b,a+b)
enfin remarquer que dans pgcd il y a d !
il est donc évident que toutes les propriétés valables pour un quelconque diviseur (commun) de a et b est valable pour leur plus grand ... diviseur commun
la plupart des propriétés se déduisent alors de la propriété fondamental de l'arithmétique : (tout) diviseur commun à a et b divise toute combinaison (linéaire) de a et b
qui peut encore se traduire par : toute combinaison (linéaire) de deux multiples d'un entier appartient à la table des multiples de cet entier ...