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Niveau terminale
Nombres premiers et indicatrice d'Euler
Posté par Meiosis
Bonjour,
Je souhaiterais démontrer une formule.
Soit l'indicatrice d'Euler et
un nombre premier.
Je dois montrer que si alors
est un nombre premier.
Je pense qu'il faut exploiter une propriété de l'indicatrice d'Euler mais je ne vois pas laquelle.
Merci pour votre réponse.
En réalité je m'aperçois qu'on peut étendre le problème à tout entier naturel .
Si n'est pas un nombre premier alors il est décomposable en un produits de facteurs premiers. Et si
est égal au carré du produit de la décomposition en facteurs premiers de
alors
est premier.
bernardo314 @ 16-03-2022 à 15:20
Bonjour,
Tu dois savoir que )
est plus petit que n-1 avec égalité si et seulement si n est premier ?
Bonjour,
Tu dois savoir que
Oui, si n est premier alors
Mais ça me pose problème quand n n'est pas premier.
Je viens d'avancer dans mon problème en remarquant une autre propriété qui est liée à mon problème.
Soit un entier naturel finissant par 9 et
l'indicatrice d'Euler.
Si (pour le cas où a est premier) ou si
est égal au carré du produit de la décomposition en facteurs premiers de a (dans le cas où a n'est pas premier) alors
est un nombre premier.
Je ne parviens pas à démontrer ni la propriété de base ni celle-ci qui me semble encore plus complexe, mais peut-être liée à la première propriété qui a fait l'objet de mon message d'aujourd'hui.
Je vous remercie par avance pour votre aide.
En fait je m'aperçois que la dernière propriété ne marche pas pour les grands nombres.
Par contre j'ai réussi à généraliser le problème de base pour toute puissance n paire.
Soit un entier naturel et
un entier pair supérieur ou égal à 2.
Si (si a premier) ou si
est égal à la puissance n-ième du produit de la décomposition en facteurs premiers de a (si a composé) alors
est premier.
Ce n'est pas valable que pour la puissance 2 mais cela semble valable pour toute puissance paire.
Voilà désolé des messages multiples mais j'essaye de mettre mes avancées sur le problème et je n'ai pas trouvé le moyen de modifier un message s'il existe.
Bonjour,
tu ne sembles pas vouloir utiliser mon indication, tu as vu que c'était une condition nécessaire et suffisante de primalité ? Si oui tu l'appliques en remplaçant n par a2-2 .