Bonjour bauer21,

pense au fait que les restes possibles sont compris entre 0 et b, où b est le dénominateur.
Ainsi après b+1 opérations au maximum, si on n'est pas tombé sur un reste nul(auquel cas la division s'arrête et on obntient un développement fini), on va tomber sur un reste déjà trouvé auparavant.

Dans ce cas, les calculs à partir de ce rang-là vont se répéter périodiquement, ainsi que les décimales.


Tigweg

Merci d'avoir répondu
Je comprend avec des exemples, mais comment je pourrais écrire une demonstration en généralisant?

Je t'en prie.

Il te suffit d'appeler a et b le dividende et le diviseur, q_n et r_n les suites des quotients(donc des décimales) et des restes des divisions euclidiennes qu'on est amené à faire lorsqu'on pose la division de a par b.

Pour tout n, r_n est compris entre 0 et b-1, donc après b+1 divisions euclidiennes, les b+1 restes obtenus sont b+1 entiers compris (au sens large) entre 0 et b-1 (soit dans un panel de b entiers).

Deux d'entre eux au moins sont donc égaux.
Si 0 est valeur commune de deux tels restes, le développement décimal est fini.

Sinon, soient et avec les deux premiers restes égaux.

L'algorithme de division de a par b va alors se répéter périodiquement, de sorte que pour tout entier on aura , autrement dit les décimales se répétent périodiquement à partir de leur première apparition.

OK?


Tigweg

ok merci