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nombres rationnels et nombres réels

Posté par zineb (invité) 26-07-05 à 16:47

bonjour tout le monde

s'il vous plaît j'ai besoin de votre aide pour un exo ... je ne sais pas par où le prendre !

il s'agit de montrer pour tout n \in \mathbb{N} il existe p \in \mathbb{N}^* tel que :
(1+\sqrt{2})^n = sqrt{p}+sqrt{p-1}

alors voilà j'ai décomposé l'identité remarquable selon le binome de Newton, mais je n'arrive pas à grand chose.

Merci de votre aide

Posté par zineb (invité)re : nombres rationnels et nombres réels 26-07-05 à 16:57

je crois que j'ai trouvé comment faire, seulement j'ai un petit problème ...

en fait je veux montrer que quelque soit n, on a

Posté par zineb (invité)re : nombres rationnels et nombres réels 26-07-05 à 17:02

oups je reprends :


quelque soit n, on a

(1+\sqrt{2})^n= a_n + b_n\sqrt{2} et
(1-\sqrt{2})^n= a_n - b_n\sqrt{2},

pour arriver au fait que a_n^2-b_n^2=(-1)^n, et après selon la parité de n il est simple de conclure, seulement je ne sais pas comment prouver que c'est le même a_n et b_n ? avec les coefficients qu'on obtient avec le triangle de Pascal ?

Merci de m'aider

Posté par zineb (invité)re : nombres rationnels et nombres réels 26-07-05 à 17:11

bon finalement j'ai trouvé !
à bientôt

Posté par titimarion (invité)re : nombres rationnels et nombres réels 26-07-05 à 17:11

Oui en effet ce sont les coefficients que l'onobtient avec le triangle de Pasca
En fait
(1+\sqrt 2)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^nC_n^k(sqrt 2)^k

Posté par
muriel Correcteurre : nombres rationnels et nombres réels 26-07-05 à 17:11

bonjour ,
pour montrer l'existence de tes deux suites (a_n) et (b_n)
il te suffit de prendre le binôme de Newton:
(1\;+\;\sqrt{2})^n\;=\;\Sigma_{k=0}^n\(n\\k\)\sqrt{2}^k
ce qui est égal à:
(1\;+\;\sqrt{2})^n\;=\;\Sigma_{k=0}^n\(n\\k\)2^{\(\frac{k}{2}\)}

donc il te suffit de séparer cette somme en deux somme, les k pairs et les k impairs:

4$(1\;+\;\sqrt{2})^n\;=\;\Sigma_{l=0}^{[\frac{n}{2}]}\;\(n\\2l\)2^l\;+\;\Sigma_{l=0}^{[\frac{n-1}{2}]}\;\(n\\2l+1\)2^l\:\sqrt{2}

où \[\frac{n}{2}\] désigne la partie entière de n/2

voilà

Posté par
muriel Correcteurre : nombres rationnels et nombres réels 26-07-05 à 17:18

à oui, on arrive surtout à cela:
a_n^2-2b_n^2=(-1)^n
et non: a_n^2-b_n^2=(-1)^n

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : nombres rationnels et nombres réels 26-07-05 à 17:26

Bonjour zineb;
il est clair que ce sont les mm coefficients puisque:
(1+\sqrt{2})^n=\Bigsum_{k=0}^{k=n}\(n\\k\)sqrt{2}^k=\Bigsum_{k=0}^{k=[\frac{n}{2}]}\(n\\2k\)2^{k} + \sqrt{2}\Bigsum_{k=0}^{k=[\frac{n-1}{2}]}\(n\\2k+1\)2^k
(1-\sqrt{2})^n=\Bigsum_{k=0}^{k=n}\(n\\k\)(-1)^{k}sqrt{2}^k=\Bigsum_{k=0}^{k=[\frac{n}{2}]}\(n\\2k\)2^{k} - \sqrt{2}\Bigsum_{k=0}^{k=[\frac{n-1}{2}]}\(n\\2k+1\)2^k

Posté par zineb (invité)re : nombres rationnels et nombres réels 26-07-05 à 17:28

oui oui merci Muriel, je m'en suis rendue compte que j'avais fait la faute en saisissant
merci pour tout et à tous

Posté par
muriel Correcteurre : nombres rationnels et nombres réels 26-07-05 à 17:30

de rien
à la prochaine

Posté par biondo (invité)re : nombres rationnels et nombres réels 26-07-05 à 20:09

Salut a tous!

Bon, ce que je vais ecrire n'est pas d'un interet fulgurant, tout a deja ete fait et resolu proprement sur ce topic.

Neanmoins, pour les fans d'algebre (ben quoi... y a pas de mal    ... si???):

On peut remarquer que
\mathbb{Z}[\sqrt{2}]
(l'ensemble des nombres s'ecrivant a + b\sqrt{2} avec a et b entiers relatifs)

eh ben il possede une structure d'anneau (on verifie facilement les elements de definition d'un anneau).

En plus, si on se met a definir les "conjugues" des elements de ce truc:

si x = a + b\sqrt{2}
on definit \bar{x} = a - b\sqrt{2}

alors... racine(2) se comporte un peu comme l'imaginaire i pours les complexes, et on montre des trucs du style:

\bar{(xy)} = \bar{x} . \bar{y}
et donc aussi \bar{(x^n)} = (\bar{x})^n

Et dans le cas de l'exo (oui oui, j'y reviens, je fais pas ca juste pour le plaisir... enfin si mais bon), on n'a meme pas besoin d'expliciter les a_n et b_n...

Il existe donc forcement des entiers a_n et b_n tels que
(1 + \sqrt{2})^n = a_n + b_n \sqrt{2} (par stabilite de l'anneau)

et comme, avec les defs ci-dessus,
(\bar{(1+\sqrt{2})} = 1 - \sqrt{2}

on a (1 - \sqrt{2})^n = (\bar{(1+\sqrt{2})})^n = a_n - b_n \sqrt{2}


la conclusion est la meme ensuite.

Ben oui, tout ca pour ca. Il faut vraiment detester le binome de Newton pour en arriver la. Desole, j'ai pas pu m'en empecher...

Allez, A+

Biondo

Posté par philoux (invité)re : nombres rationnels et nombres réels 26-07-05 à 20:19

Bonsoir biondo

intéressant ta remarque.

Peux-tu vulgariser (je ne connais pas grand chose aux structures, pour pas dire ...) et expliciter :

il existe forcément des entier a_n et b_n ... par stabilité de l'anneau

Philoux

Posté par biondo (invité)re : nombres rationnels et nombres réels 26-07-05 à 20:31

Salut Philoux,

Ce que ca veut dire, et qui est effectivement exprime en termes un peu "pompeux", c'est que si on prend deux elements de l'anneau, leur produit est un element de l'anneau ("stabilite de l'anneau"}.

Autrment dit, n'importe quel produit fini d'elements de l'anneau est encore dans l'anneau.

Et en particulier,

(1 + \sqrt{2})^n est donc un element de l'anneau, donc il s'ecrit sous la forme a_n + b_n \sqrt{2}

Il ya un petit truc qui manque, d'ailleurs, dans mon laius au dessus, c'est de montrer que a_n et b_n sont bien des entiers naturels, et pas seulement des entiers relatifs. Mais ca se voit assez bien...

N'hesite pas si il y a autre chose!

Biondo

Posté par philoux (invité)re : nombres rationnels et nombres réels 26-07-05 à 20:34

Donc, si je te comprends

le plus difficile est de démontrer que c'est bien une structure d'anneau

et que, comme tout anneau, il possède la propriété de stabilité  que l'on exploite pour montrer l'existence de a_n et b_n

c'est ça ?

Question : pour demontrer que c'est bien un anneau, c'est complexe (au sens difficile ) ?

Philoux

Posté par biondo (invité)re : nombres rationnels et nombres réels 26-07-05 à 20:59

Exactement, le plus difficile c'est de montrer que c'est un anneau.

Et pour le montrer, je te rassure, ce n'est pas bien difficile. Un peu "besogneux", oui, mais pas franchement difficile.
Il faut d'abord montrer que c'est un groupe commutatif pour la loi +, puis que la loi "." (multiplication) est associative (autrement dit a.(b.c) = (a.b).c, et distributive par rapport a l'addition (autrement dit a.(b+c) = a.b + a.c  et  (a+b).c = a.c + b.c
beaucoup de vocabulaire pour des proprietes assez simples en fait.

Alors soit on y va franco, et on verifie tout ca, soit on dit qu'on se trouve aussi dans R, et que hein...

Ensuite il y a la stabilite a montrer, mais la encore ca va assez vite:

(a + b \sqrt{2}) . (c + d \sqrt{2}) = (ac + 2bd) + (bc + ad) \sqrt{2}


Rien de bien sorcier (mais l'algebre, c'est ca... des proprietes assez basiques sur des ensembles) au final.

Biondo

Posté par philoux (invité)re : nombres rationnels et nombres réels 27-07-05 à 08:55

Merci biondo pour cette explication vulgarisée, donc accessible.

Philoux





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