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Nombres réels 1
Bonjour,
J'aurais besoins de votre aide pour me guider à faire mon exercice .
1. Montrer qu'une intersection d'intervalles est un intervalle. Qu'en est-il pour une réunion ? Trouver une condition nécessaire et suffisante afin que la réunion de deux intervalles soit un intervalle.
2. Montrer que l'ensemble des nombres décimaux est dense fans LR.
3. Construire un rationnel compris strictement entre 123 et 123,001. Ensuite construire un irrationnel. Sauriez-vous en construire une infinité ? Et entre Π et Π+0,001 ?
4. Montrer que si et
sont deux nombres complexes de module 1, avec
, il existe un entier n
* et une racine nieme de l'unité avec
.
Merci d'avance !
Soit il est vide (le vide est un intervalle), soit un singleton ou soit un infinité des nombres (qui est un intervalle).
Une infinité de nombre n'est pas forcément un intervalle...
Tu as l'idée mais pas la rédaction.
Pour la 2). Comment montrer qu'un ensemble est dense?
1. Il suffit de dire ça pour répondre à la question ?
Qu'est-ce que je peux dire à la place d'une infinité des nombres?
La réunion de deux intervalles est un intervalle si et seulement si le maximum de l'un d'entre eux est dans l'autre ?
2. A est dense sur lR si pour tout x réel et e>0 , il existe a (réel) tel que |x-a|=<e.
2. Soit A une partie non vide de 
.
A est dite dense dans si pour chaque x,y de avec x<y , il existe aA tel que x<a<y.
Pour tout x et y de il existe un décimal entre x et y.
Est-ce que ça suffit de le dire ?
Non, prend a=X et x-a= 0....
a est dans A.
Connais tu une suite dans A qui a pour limite x réel fixé?
La suite (U n) définie par la relation de récurrence :
U o=0,12 et Un+1=aUn+b avec a et b entiers naturels.
On à x=b/(1-a)?
Soit n entier naturel et x réel.
Posons
En divisant par 10n , et d'après le théorème des gendarmes la suite à pour limite x.
Et par construction U_n appartient à ID . Donc toute suite décimal tend vers un réel et d'où le résultat.
Et mes questions de 11h36?
salut
1/ niveau seconde : il suffit de savoir ce qu'est un intervalle et de dessiner ...
2/ pourrait quasiment se faire au lycée (quand on connait la définition de la densité d'un ensemble ...)
3/ niveau 5 e (ou 4e) dès que l'on sait ce qu'est un rationnel (et les opérations sur les rationnels) niveau lycée pour l'infinité
4/ niveau première-terminale (pour les complexes) et seconde (pour le cercle trigonométrique)
...
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