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Non existence d’une borne supérieure dans Q
Bonjour,
J'ai un dm à faire pour la rentrée , j'ai déjà fait le deuxième exercice mais je bloque sur le premier dont voici l'énoncé:
SoitA={x∈Q+|x2 <2}etB={x∈Q+|x2 >2}.On rappelleque (2)^1/2∈/Q.
1. Soit a ∈ A. Montrer que pour un entier n assez grand (on précisera à partir de quelle valeur en fonction de a), a + 1/b ∈ A. En déduire que A n'admet pas de plus grand élément.
2. Montrer que B n'admet pas de plus petit élément (on pourra reprendre une technique analogue à la question 1.).
3. Justifier que B = {x ∈ Q+ | x2 >= 2} et conclure que A n'a pas de borne supérieure rationnelle.
Je n'arrive même pas a le démarrer…
C'est pourquoi je me permet de demander votre aide.
En vous remerciant par avance.
Bonjour,
Montrer que pour un entier n assez grand (on précisera à partir de quelle valeur en fonction de a), a + 1/b ∈ A
Je présume qu'il s'agit en réalité de a + 1/n.
On a donc a² <2, et on veut montrer que, pour n "assez grand", (a+1/n)² < 2
Si cela est vrai, alors a + 1/n <
2
Donc n > 1/(
2 - a)
Il reste à montrer que l'on a toujours
2 - a > 0
Comment fais-tu cela ?
salut
je ne pense pas qu'il faille travailler avec et faire comme s'il n'existait pas puisqu'on vit dans Q
il suffit alors de résoudre l'inéquation du second degré d'inconnue n avec la condition
(et montrer bien sûr qu'elle admet des solutions ...)
Merci beaucoup pour vos réponses!
J'ai donc essayé d'appliquer ce que tu m'as dit @carpediem mais je bloque à nouveau… et sur la résolution de l'équation en plus 
Je te mets une photo de mon travail.
Et je ne suis même pas sûre de pouvoir raisonner ainsi.
J'attends tes conseils.
Merci encore.
Bonsoir,
tu n'as pas besoin de résoudre l'inéquation.
Il suffit de trouver une valeur de n telle que
Pour ça on peut remarquer que et remplacer
par
dans le développement de
.
On arrive ainsi à une inéquation du premier degré facile à résoudre.
de toute façon on arrive en développant à :
tout cours sur les trinomes du second permet d'affirmer qu'il existe des solutions dans Q (à justifier bien sûr)
ce même cours permet de donner la valeur minimale de n convenant ...
ou on utilise la proposition de verdurin pour donner un minorant suffisant ...
sauf que l'inéquation du premier degré fait apparaitre a qui n'est pas rationnel ... 
mais bon c'est la question ... et on sait que R est archimédien ... donc on peut trouver un entier minimal convenable
PS :
1. Soit a ∈ A. Montrer que pour un entier n assez grand (on précisera à partir de quelle valeur en fonction de a), a + 1/b ∈ A. En déduire que A n'admet pas de plus grand élément.
sauf que l'inéquation du premier degré fait apparaître a qui n'est pas rationnel ...
Le nombre a est rationnel par définition.
Soit A={x∈Q+ | x2 <2}.
Soit a ∈ A.
Merci à tous pour vos réponses ! Ça m'a permis de faire les deux premières questions de l'exercice! Alors vraiment merci beaucoup.
Je vous met en pièce jointe mon travail.
J'ai utilisé la méthode de verdurin.
Cependant, je n'arrive pas à conclure sur le fait que A n'admet pas de borne supérieure rationnelle.. Je sais que pour qu'il y ai une borne supérieure il faut que l'ensemble soit inclus dans R non vide et majoré. Sauf qu'on a montré que A n'est pas majoré. Suffit-il de dire que comme A n'est pas majoré, elle n'admet pas de borne supérieure ?
Merci encore. 
non seulement les images sont interdites mais en plus ça n'est même pas à l'endroit ...
je ne vais sûrement pas risquer un torticolis ...
il n'y a pas besoin de discriminant pour affirmer et justifier) que ce trinome admet des solutions ...
de toute façon on arrive en développant à :
tout cours sur les trinomes du second permet d'affirmer qu'il existe des solutions dans Q (à justifier bien sûr)
ce même cours permet de donner [rouge]la valeur minimale de n convenant ...[/rouge] sans calcul du discriminant
PS :
1. Soit a ∈ A. Montrer que pour un entier n assez grand (on précisera à partir de quelle valeur en fonction de a), a + 1/b ∈ A. En déduire que A n'admet pas de plus grand élément.
enfin n'oublie pas qu'on travaille dans Q
et que tu viens de prouver que pour tout élément a de A il en existe un plus grand ...
enfin il est évident que A est majoré ... par 2 par exemple !!
J'ai utilisé la méthode de verdurin et j'ai résolu l'équation a^2+(2a+1)/n<2 et j'arrive à n> (-2a-1)/(a^2-2) et donc que pour un n strictement supérieur à (-2a-1)/(a^2-2) a+1/n appartient à A. Donc j'en conclue que comme tout élément de A auquel on ajoute 1/n tel que n> (-2a-1)/(a^2-2) appartient aussi à A, A n'admet pas de plus grand élément.
J'ai procédé de la même façon pour montrer que B n'admet pas de plus petit élément et j'en conclue que comme tout élément de B auquel on soustrait 1/n tel que n> (-2a-1)/(a^2-2) appartient aussi à B, B n'admet pas de plus grand élément.
Et pour la dernière question, dans laquelle il faut montrer que B = {x ∈ Q+ | x2 >= 2} et conclure que A n'a pas de borne supérieure rationnelle, j'ai dit que comme x appartient à Q+, x est différent de racine de deux donc que x>2 implique x>=2.
Et c'est pour montrer que A n'a pas de borne supérieure rationnelle que je bloque. Donc, A est majorée, donc A à une borne supérieure mais elle n'est pas rationnelle… comment fait-on pour le montrer ?
Pour le PS, je me suis trompée en recopiant l'énoncé, désolée, il s'agit en vérité de a+1/n et non a+1/b
les ensembles A et B sont complémentaires dans Q :
tout élément de Q vérifient (ou avec des inégalités strictes mais pas gênant d'après le début d e3/) et donc appartient à A ou à B
A n'a pas de plus grand élément donc tout majorant de A est donc dans B
donc si A possédait une borne sup ce serait le plus petit élément de B ... qui n'en a pas !!
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