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normale à une courbe en un point P
bonsoir,
On considère 
, la courbe du plan définie par y^3 + x^2 + a^2xy= 1 av a un parametre reel strictement négatif.
Soit P( xp;a) 
[!!smb]gammamaj[/smb. Determiner a pour que la normale à la courbe à la courbe en P passe par le point Q(-2/5;0).
ce que j' ai fait:
j'ai utilisé la derivation implicite puis j'arrive à :
y'= -(2x+a^2y)/(3y^2+a^2) = m ( sauf erreur) => coefficient directeur de la tangente en P. Pour l'écriture ici x= xp
j'en déduis m'= -1/m ( coefficient directeur de la normale).
On sait que Q appartient à la normale... mais malgré cela je suis embeté car je me retrouve avec un parametre a et des une variable xp dans mon équation... Comment faire pour résoudre?' Merci de votre aide
Il s'agit très exactement du théorème des fonctions implicites. Assez grossièrement, que dit-il ? C'est un théorème d'analyse important !!!
A +
Ok ! Très trsè bièvement, posons . Soit
son graphe. Si
, l'on a :
et
. Ainsi a-t-on :
Y a-t-il des notions qui te sont étrangères ?
Si tel n'est pas le cas, je te laisse finir !!
A +
Merci de ta reponse. Je ne vais pas te mentir, je ne comprends pas vraiment ce que tu as écrit... ce n'est pas grave. Merci quand meme
A+
Je précise que
est une équation de la tangente en le point de coordonnées . Tu détermineras une telle équation pour le point
et tu concluras avec tes hypothèses.
Remarque : Derrière tout ça, il y le théorème que je t'ai indiqué, avec toutes les notions topologiques qui s'y rattachent.
A +
@Glouvincs :
(2x+a^2y)/(3y^2+a^2x)
C'est ton calcul, corrigé par mes soins. Comment as-tu fait ?
A +
Merci beaucoup de te donner la peine pour m'expliquer mais ces notions me disent vraiment rien. Aujourd'hui en cours, nous avons vu le th de Rolle, et la dérivation de fonction paramétrique...
Non ! Laisse tomber mes notions (sic) et explique moi ton calcul comme je viens de te le demander deux posts au dessus. Est-ce trop de demander ?
A +
Je recommence mon raisonnement: Nous avons une courbe d'équation:
y^3 + x^2 + a^2xy= 1
y^3 + x^2 + a^2xy -1= 0
Je souhaite déterminer l'équation de la tangente qui passe par P. Par conséquent je dérive :
3y'y^2 + 2x + (y+xy')a^2 =0
je mets en évidence y'(3y^2 + x*a^2) = -2x-y*a^2
y'= -(2x+y*a^2)/(3y^2 + x*a^2) Ceci est le coefficient directeur de la tangente en P.
En en deduit celui de la normal par la relation m*m'=-1
mais je suis bloqué avec ce fichu parametre
Non ! Tu ne peux pas dériver de la sorte, sauf si et
sont des fonctions d'une variable, disons
; et encore !!!!
Si quelqu'un d'
Excuse moi , mais je ne comprends pas pourquoi on ne pourrait pas deriver de la sorte. J'ai un exercice avec ce genre d'équation et dans le corrigé il marque " Derivation implicite de la relation definissant la courbe...
Ps: Pour moi y est fonction de x
Explication très simple : Posons . L'on veut chercher la tangente à
au point
. Tu sais faire.
Voici une autre méthode. Tu poses et tu calcules les dérivées partielles
et
. Ainsi a-t-on
et
.
Une équation de la tangente est donc
.
Autrement dit, l'on a
N'est-ce pas que tu trouves par la voie habituelle ?
A +
Bonsoir,
hormis la dernière division écrite (il faut faire attention aux x éventuels qui donneraient un dénominateur nul), ce que propose glouvincs me parait correct: il dérive par rapport à x, en considérant y comme une fonction de x.
Après, tu n'as pas dit quelles étaient les coordonnées de P.
Tu remplaces x et y, puis tu obtiendras la pente de la tangente, puis la pente m' de la normale, en fonction du seul paramètre a.
Enfin, tu écris que la pente de (PQ) vaut m', et tu obtiens a! 
DHilbert: je suis d'accord avec toi. Je suis désolé mais je n'ai vraiment pas vu ces notations. Je suis vraiment désolé de pour ces incompréhensions.
Merci tiweg pour ta reponse.
Comme dit dans l'énoncé, la seule info est que le parametre a est négatif et que l'abscisse de p notée xp est négative. P (xp,a)
Supposons que l'équation de la normal et du type
Y= ((3y^2 + x*a^2)/(2x+y*a^2))X + B comment puis je determiner a sachant que P et Q appartiennent a la normale ??
Donc si je comprends bien, l'ordonnée de P est le même paramètre a qui apparait déjà dans l'équation de la courbe ??
C'est le même a ?
Mouais c'est bizarre tout ça...tu es certain qu'on n'a pas plus d'informations que ça?
Je trouve et
pour pente de
.
La normale en passe par
ssi ces deux expressions sont égales.
Le problème, c'est qu'on tombe sur une équation de degré en
, et qu'il faut supposer que l'abscisse de
est différente de de
et de
, sinon plus rien ne marche!!
Je réécris l'énoncé mot pour mot 
Soit la courbe du plan définie par y^3 + x^2 + a^2xy= 1 avec a un paramètre réel strictement négatif.
Soit P (xp; a) , xp < 0 . Déterminer a pour que la normale à la courbe en P passe par le point Q ( -5/2;0)
Voila l'enoncé exact... et je ne vois pas comment faire haha...
Merci Tigweg d'avoir cherché
et sinon je trouve m' presque comme toi sauf que moi j'ai 2 au numérateur au lieu de 3! J'ose pas te contredire pour ca....
Es-tu certain que P n'a pas plutôt pour ordonnée alpha () ?
Des fois, quand les caractères sont écrits petits, on perçoit mal la différence!
Si c'était le cas, on n'aurait plus qu'une équation du second degré en alpha!
En relisant ton post, je suis tout à fait d'acc avec toi. Le problème depuis le début ce que l'on a pas assez d'informations pour aboutir. xp est inconnu, on sait juste qu'il est négatif. J'ai vraiment pas l'habitude de raisonner avec des paramètres en plus....
Ok !
Je pense qu'il faut trouver (ou alpha) en fonction de
, et non pas sa valeur "exacte", qu'il est impossible de trouver puisqu'on n'a pas l'abscisse du point
!
pour y' = (a^2*(2+xp))/(2xp+ a^3)
Dsl pour la présentation, mais je sais pas comment ecrire autrement (autre probleme LOL)
Non c'est une série d'exercices que je dois faire chaque semaine en analyse pour me preparer aux exams de Janvier. C'est un DM si on veut! L'erreur dans l'énoncé me parait honnêtement très improbable... mais si tu le dis !
Ok ça c'est plutôt pour , mais avec un 3 au lieu du 2 au numérateur (relis ton post de 21h36, tu as dû mal recopier le 3 d'une ligne à l'autre).
Si tu as envie d' écrire les formules en Latex, tu peux te référer au lien interne suivant: 
[lien]
Non plus sérieusement, ton énoncé conduit exactement à ce que je t'ai donné, on ne peut rien dire de plus a priori.
Il manque clairement des hypothèses...
Enfin bon, attends le corrigé et tu aviseras; tiens-nous informés!
Avec plaisir
Ca marche, à bientôt, bonne nuit à toi aussi !(pleine de normales, de m', et d'équations! 
)
Hello Tigweg, finalement il n'y avait pas d'erreurs dans l'énoncé, on peut très bien déterminer l'abscisse du point P grâce aux hypothèses .
De visu, il me semble qu'il est possible d'exprimer en fonction de
. Est-ce cela ? C'est une équation de la normale qui nous permet d'y arriver.
J'aimerais avoir ta solution.
Toutes mes excuses pour hier soir !
A +
Salut DHilbert, c'est moi qui tient à m'excuser de ne pas comprendre tes explications, car tout simplement je ne suis pas aussi "loin que vous" !!.
Concernant le problème.
Le problème que posait le problème 
c'est qu'effectivement, on ne connaissait pas
pour le déterminer: On sait que le point P appartient à par conséquent ses coordonnées vérifient
on obient donc:
ou
Or par hypothèse et
sont négatif. Dans la deuxième solution
est positif !
par conséquent
Après si on reprends le message de Tigweg de 22h45, j'apporte une petite correction qui est due à l'erreur du point Q que j'avais fournie en posant le problème. On a donc :
on remplace par -1, puis on trouve normalement la valeur a = -1
Merci à tous les deux pour votre grande contribution à cette exo. A bientôt sans doute car c'est que le début des vraies études post bac
Merci beaucoup. Moi aussi je faient beaucoups de phautes. Et ce ne sont pas des sottises. C'est honteux !!!!
Et zut.
Merci encore !!!!
A +
Bonjour glouvincs,
toutes mes excuses à ton professeur, il n'y avait en effet pas d'erreur!
Je ne pensais pas qu'on pouvait trouver l'abscisse de P aussi facilement...mais l'hypothèse selon laquelle P était d'ordonnée a était évidemment cruciale!!
Moi aussi j'ai honte de ne pas avoir pensé à ça, c'était pourtant la première chose à faire!!!
Bonne journée et merci d'avoir posté ta solution!
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