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Norme 1, norme euclidienne

Posté par
Jijidu92i
17-01-21 à 22:35

Bonjour à tous ! Ou plutôt bonsoir lol
J'écris ce post car je me posais une petite question concernant un de mes cours sur les fonctions à plusieurs variables où l'on a introduit la notion de normes. J'ai alors appris qu'il existait non pas une mais 3 normes parmi lesquelles une norme dite euclidienne, celle qu'on utilisait déjà au lycée et une norme dite "Norme 1". Lorsque je me suis remis à relire mon cours à tête reposée, j'ai fais une constatation habituelle : j'ai rien pigé... Enfin bon en maths on comprend souvent les choses après les avoir reprises plusieurs fois. Ceci étant dit, en quête de compréhension je me suis attardé sur la norme euclidienne et la norme 1 et une question m'est venue à l'esprit, quelle est la différence entre les deux ? Voila tout ce pavé pour une simple question =D. Merci d'avance à ceux qui auront pris le temps de me lire !

Posté par
Zormuche
re : Norme 1, norme euclidienne 17-01-21 à 22:47

Bonsoir

Dans \R^d en réalité on peut construire autant de normes qu'il y a de réels p\in[1,+\infty]

Pour tout  x\in \R^d, ~p\in[1,+\infty[  on définit la norme p  :   \|x\|_p = \left(\sum_{i=1}^d |x_i|^p \right)^{1/p}
et  \|x\|_\infty = \max(|x_1|,|x_2|,\dots,|x_d|)

Les cas remarquables sont la norme 1, la norme 2, et la norme infinie, c'est de là que leur nom vient

la norme 2 est celle vue au lycée, la "norme euclidienne", celle qui relie deux points par une ligne droite

la norme 1 d'un vecteur est simplement égale à la somme des valeurs absolues de ses coordonnées, si tu te réfères à la formule que j'ai donnée plus haut. On voit donc bien la différence entre la norme 1 et la norme 2. D'ailleurs, la norme 1 d'un vecteur est toujours supérieure ou égale à sa norme 2, c'est une conséquence de l'inégalité triangulaire

Posté par
lionel52
re : Norme 1, norme euclidienne 17-01-21 à 23:15

Zormuche @ 17-01-2021 à 22:47

Bonsoir

Dans \R^d en réalité on peut construire autant de normes qu'il y a de réels p\in[1,+\infty]


Bah même plus encore vu que la somme de 2 normes reste une norme !

Sinon en gros, y a quasi aucune différence sur R^n entre 2 normes (cela vient de l'équivalence des normes en dimension finie). Tu prends donc celle qui t'arrange dans les calculs.

Posté par
Zormuche
re : Norme 1, norme euclidienne 17-01-21 à 23:26

lionel52 bien sûr ! au début, j'avais écrit "il y a autant de normes ...", et c'est pour ça que je l'ai changé en "on peut construire"

Posté par
Jijidu92i
re : Norme 1, norme euclidienne 18-01-21 à 08:39

D'accord merci beaucoup

Posté par
GBZM
re : Norme 1, norme euclidienne 18-01-21 à 08:58

Bonjour,

Une norme dans \R^d est caractérisée par sa boule unité (l'ensemble des vecteurs de norme \leq 1). C'est un compact convexe symétrique par rapport à l'origine. Tout convexe compact symétrique est la boule unité d'une norme.
Pour d=2, tu peux dessiner la boule unité pour la norme 1, la norme 2, la norme infini.

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