Bonsoir,

C'est quoi l'axiome de séparation ?

axiome de separation
n(x)=0 ->x=0

tu as surement compris qu'il faut étudier les différents cas suivant les valeurs de x et y


quand dd(x;y)=0, tu considère chaque cas pour montrer que dans chacun d'eux, la seule possibilité est (x;y)=(0;0)

Pour trouver la boule unité, tu traces sa frontière d(x;y)=1 dans chaque secteur.

Il me semble pas qu'on ai besoin d'étudier chaque cas.

On a N(x)=0 ==>

En particulier, pour t=0 ça nous donne x=0 et pour t=1 ça nous donne y=0.

La définition de cette distance indique qu'il faut prendre la valeur supérieure, quand t varie de 0 à 1. Tu ne peux pas t'en tenir à une valeur particulière de t, car dans ce cas, tu ne vérifie pas si tu obtiens effectivement le sup(||)

d'accord mais comment on fait justement pour etudier la valeur superieure sans tenir compte des valeurs de t

Suivant les parties du plan (x;y) qu'on considère, on aura une expression de sup(|x+ty|) qui sera indépendante de t.
Exemple :
Si , alors pour toute valeur de t entre 0 et 1, , donc pour cette partie du plan, sup(|x+ty|)=x+y.

Tu découpes ainsi le plan en parties dans lesquelles ta norme admet une expression indépendante de t.

Puis quand tu veux montrer que , tu supposes successivement que (x;y) est dans la première partie du plan, puis dans la seconde, etc... et dans chacune d'elles tu démontres que la seule solution, DANS CETTE PARTIE considérée, est (0;0)
par exemple : si on cherche une solution à d(x;y)=0 dans la partie où et , alors on doit résoudre


donc la seule solution est bien x=0 et y=0

Remarque : dans ma première réponse, je ne t'ai pas donné tout à fait les parties correctes. Je te laisse réfléchir au découpage adéquat du plan.

Dernier conseil : tu fais un peu comme avec des études de signes lorsqu'il y a des valeurs absolues.

ok merci pour tout

Je persiste à dire qu'on a pas besoin de faire tout ça.
Si on suppose que le sup est nul, alors a fortiori pour tout t dans [0,1] on a |x+ty|=0 c'est à dire x+ty=0 et on peut ensuite prendre les valeurs particulières 0 et 1.

Bonjour

Personnellement,la démonstration de Rouliane m'a l'air tout à fait convaincante...

(Salut Julian )

Tiens une autre démo pour la route (un peu gratuite certes.)Soit x,y tel qur sup |x+ty| sur [0,1] soit 0.
Alors le polynome en t, x+ty est nul en une infinité de point, il est nul et donc x=y=0, c'est un poil plus long que la méthode de Rouliane, mais ca se generalise à n'importe quel ensemble ayant au moins 2 points.

Tu chipotes, Rodrigo...

Disons j'apporte mon grain de sel

...qui n'est pas sans intérêt, d'ailleurs...

Bonsoir ;

Si je ne me trompe , pour tous réels et on a