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Norme

Posté par
guufullnew 02-11-15 à 16:44

Bonjour!

Je viens de résoudre cette exercice:

Soient a et b des réels strictement positifs. Pour tout (x,y) +*, on pose
N(x,y) = \sqrt{a²x² + b²y²}
1) Montrer que N est une norme.
2) Soit r>0. Dessiner la boule de centre 0 et de rayon r.
3) Déterminer le plus petit nombre c1>0 tel que N(x,y) c1\sqrt{x²+y²} , (x,y) ²
et le plus grand nombre c2>0 tel que N(x,y) c2\sqrt{x²+y²}, (x,y) ²

Et voila mon essai:

a,b +*
(x,y) ², on pose:
N(x,y) = \sqrt{a²x² + b²y²}
1) N est une norme?
N(x,y) = 0 \Longrightarrow \sqrt{a²x² + b²y²} = 0
\Longrightarrow a²x² + b²y² = 0
\Longrightarrow x² = y² = 0 car a,b +*
\Longrightarrow x = y = 0
cls: N(x,y) = 0 Alors (x,y) = (0,0) (*)
Soit
N((x,y)) = N(x,y)
= a²(x)² + b(y)²
= a²²x² + b²²y²
= ²(a²x² + b²y²)
= ||\sqrt{a²x² + b²y²}
= ||N(x,y)
cls: N((x,y)) = ||N(x,y) (**)
Soit (x',y') ²
N((x,y)+(x',y')) = N(x+x',y+y')
= \sqrt{a²(x+x')² + b²(y+y')²}

Mais je suis bloqué ici car je n'ai pas pu montrer que (x,y),(x',y') ² et a,b +*
\sqrt{a²(x+x')² + b²(y+y')²} \sqrt{a²x² + b²y²} + \sqrt{a²x'² + b²y'²}

Merci d'avance

Posté par
luzakre : Norme 02-11-15 à 16:53

Bonjour !
Il me semble qu'il suffit de calculer le carré du second membre et montrer qu'il est supérieur au carré du premier.
.

Posté par
carpediemre : Norme 02-11-15 à 17:42

salut

la fonction (x, y) \mapsto \sqrt {x^2 + y^2} n'est-elle pas déjà une norme ?

Posté par
guufullnewre : Norme 02-11-15 à 18:11

luzak @ 02-11-2015 à 16:53

Bonjour !
Il me semble qu'il suffit de calculer le carré du second membre et montrer qu'il est supérieur au carré du premier.
.


Salut,

(\sqrt{a²x² + b²x²} + \sqrt{a²x'² + b²x'²})² = a²x² + b²x² + a²x'² + b²y'² + 2\sqrt{a²x² + b²x²}\sqrt{a²x'² + b²x'²}
= a²(x²+x'²) + b²(y+y')² + 2\sqrt{a²x² + b²x²}\sqrt{a²x'² + b²x'²}
d'autre part,
\sqrt{a²(x+x')² + b²(y+y')²² = a²(x+x')² + b²(y+y')²
Je crois qu'il n'est pas nécessaire de développer 2\sqrt{a²x² + b²x²}\sqrt{a²x'² + b²x'²} car il ne conduit à rien.
Donc comment faire monsieur?

Posté par
guufullnewre : Norme 02-11-15 à 18:13

carpediem @ 02-11-2015 à 17:42

salut

la fonction (x, y) \mapsto \sqrt {x^2 + y^2} n'est-elle pas déjà une norme ?


Oui, Mais comment passer à montrer que \sqrt{a²x² + b²x²} est une norme?

Posté par
carpediemre : Norme 02-11-15 à 18:32

posons n(x, y)) = \sqrt {x^2 + y^2}

a > 0 donc  N(x, y) = \sqrt {a^2x^2 + b^2y^2} = an(x, \dfrac b a y)

...

Posté par
guufullnewre : Norme 02-11-15 à 18:45

carpediem @ 02-11-2015 à 18:32

posons n(x, y)) = \sqrt {x^2 + y^2}

a > 0 donc  N(x, y) = \sqrt {a^2x^2 + b^2y^2} = an(x, \dfrac b a y)

...


Mais si je veux montrer que n(x,y) est une norme luis même?
soit n(x,y)
soit (x,y) ²
n(x,y) = 0 \Longrightarrow \sqrt{x² + y²} = 0
\Longrightarrow x² + y² = 0
\Longrightarrow x² = y² =0
\Longrightarrow x=y=0
cls: n(x,y) = 0 Alors (x,y) = (0,0) (*)
soit et (x,y) ²
n((x,y)) = n(x,y)
= (x)² + (y)²
= ²x² + ²y²
= ²(x² + y²)
= ||\sqrt{x²+y²}
= ||n(x,y)
cls:
n((x,y)) = ||n(x,y) (x,y)² (**)
soit (x,y),(x',y') ²
n((x,y)+(x',y')) = n(x+x',y+y')
= \sqrt{(x+x')² + (y+y')²} \sqrt{x²+y²} + \sqrt{x'² + y'²} ? comment montrer cette inégalité?

Posté par
carpediemre : Norme 02-11-15 à 19:47

voir le post de luzak ....

Posté par
guufullnewre : Norme 02-11-15 à 20:12

on a: (\sqrt{x²+y²} + \sqrt{x'²+y'²})² = x²+y²+x'²+y'²+2\sqrt{(x²+y²)(x'²+y'²)}
or 2\sqrt{(x²+y²)(x'²+y'²)} = 2\sqrt{(xx')²+(xy')²+(x'y)²+(yy')²}
D'autre part,
(\sqrt{(x+x')²+(y+y')²} = (x+x')²+(y+y')²
= x² + 2xx' + x'² + y² + 2yy' + y'²
on a xx' + yy' = \sqrt{xx'+yy')²
= \sqrt{(xx')² + (yy')² + 2(xx'yy')
Comment comparer 2(xx'yy') et (xy')² + (x'y)²?

Posté par
carpediemre : Norme 02-11-15 à 20:22

Citation :
on a xx' + yy' = \sqrt{xx'+yy')²
est faux si le membre de gauche est négatif ....

Posté par
guufullnewre : Norme 02-11-15 à 20:27

Oui désolé
Comment faire donc?

Posté par
carpediemre : Norme 02-11-15 à 20:42

désolé ... pour l'instant je ne vois pas non plus ...

que signifie "cls" ?

mais géométriquement si u = (x, y) et v = (x', y') alors u + v = (x + x', y + y') est la diagonale du parallélogramme construit sur les vecteurs u et v et c'est donc l'inégalité triangulaire ...



2xx' + 2yy' = 2u.v  (produit scalaire) =< 2(||u|| * ||v||)  (1)


\sqrt {(a + c)^2 + (b + d)^2} ^2 = a2 + b^2 + c^2 + ^d^2 + 2(ac + bd) \le a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2 \sqrt {a^2 + b^2} \sqrt {c^2 + d^2} = \left ( \sqrt {a^2 + b^2} + \sqrt {c^2 + d^2} \right )^2

d'après (1) = l'inégalité de Cauchy-Schwarz

enfin ...

Posté par
carpediemre : Norme 02-11-15 à 20:43

qui peut s'utiliser directement avec N ... si on veut ...

Posté par
guufullnewre : Norme 02-11-15 à 20:52

carpediem @ 02-11-2015 à 20:42

désolé ... pour l'instant je ne vois pas non plus ...

que signifie "cls" ?

mais géométriquement si u = (x, y) et v = (x', y') alors u + v = (x + x', y + y') est la diagonale du parallélogramme construit sur les vecteurs u et v et c'est donc l'inégalité triangulaire ...



2xx' + 2yy' = 2u.v  (produit scalaire) =< 2(||u|| * ||v||)  (1)


\sqrt {(a + c)^2 + (b + d)^2} ^2 = a2 + b^2 + c^2 + ^d^2 + 2(ac + bd) \le a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2 \sqrt {a^2 + b^2} \sqrt {c^2 + d^2} = \left ( \sqrt {a^2 + b^2} + \sqrt {c^2 + d^2} \right )^2

d'après (1) = l'inégalité de Cauchy-Schwarz

enfin ...



Peut-on parler de produit scalaire avant de montrer qu'elle s'agit d'une norme?

Posté par
carpediemre : Norme 02-11-15 à 20:58

ben disons que n(u)^2 = a^2 + b^2 = u.u

donc la norme provient du produit scalaire ....

Posté par
ThierryPomare : Norme 02-11-15 à 21:19

Bonsoir,

Pourtant,

\sqrt{a^2\,(x+x')^2+b^2\,(y+y')^2}=\sqrt{(a\,x+a\,x')^2+(b\,y+b\,y')^2}\leqslant\sqrt{(a\,x)^2+(b\,y)^2}+\sqrt{(a\,x')^2+(b\,y')^2}=\cdots

l'inégalité étant due au fait que \|\bullet\|_2 est la norme euclidienne appliquée aux vecteurs (u,\,v)=(a\,x,\,b\,y) et (u',\,v')=(a\,x',\,b\,y')...

Bonne nuit !

Posté par
guufullnewre : Norme 02-11-15 à 21:28

Donc, on continuions:
(\sqrt{(x+x')²+(y+y')²})² = x²+y²+x'²+y'²+2(xx'+yy')
or xx'+yy' =(x,y).(x',y')
n(x,y).n(x',y') = \sqrt{x²+y²}\sqrt[x'²+y'²}
\Longrightarrow 2(xx'+yy') 2\sqrt{x²+y²}\sqrt[x'²+y'²}
\Longrightarrow x²+y²+x'²+y'²+2(xx'+yy') x²+y²+x'²+y'²+2\sqrt{x²+y²}\sqrt[x'²+y'²}
= (\sqrt{x²+y²} + \sqrt{x'²+y'²})²
Alors (\sqrt{(x+x')²+(y+y')²})² (\sqrt{x²+y²} + \sqrt{x'²+y'²})²
cls (conclusion): n((x,y) + (x',y')) n(x,y) + n(x',y') (***)
D'après (*),(**) et (***) n est une norme
N(x,y) = \sqrt{a²x² + b²y²}
= \sqrt{a²(x²+b²/a² . y²}
= a\sqrt{x² + b²/a² . y²}
= a.n(x,b/a . y)
Donc N est une norme aussi.
2) Soit B(0,r) la boule de centre 0 et de rayon r
(x,y) B(0,r)
\Longrightarrow \sqrt{a²x² + b²y²} r
\Longrightarrow a²x² + b²y² r²
\Longrightarrow (a/r)².x² + (b/r)².y² 1
\Longrightarrow B(0,r) est une ellipse de centre 0 et de distances focales r/a et r/b.
3) on a, a² max(a²,b²) et b² max(a²,b²)
\Longrightarrow a²x² max(a²,b²).x² et b²y² max(a²,b²).y²
\Longrightarrow a²x² + b²y² max(a²,b²).x²+ max(a²,b²).y²
= max(a²,b²).(x²+y²)
\Longrightarrow \sqrt{a²x² + b²y²} \sqrt{max(a²,b²).(x²+y²)}
= \sqrt{max(a²,b²)}\sqrt{x²+y²}
= c1\sqrt{x²+y²}
avec c1 = \sqrt{max(a²,b²)}>0
Alors c1 est plus petit nombre >0 tel que N(x,y) c1\sqrt{max(a²,b²)}
D'autre part,
on a, a² min(a²,b²) et b² min(a²,b²)
\Longrightarrow a²x² min(a²,b²).x² et b²y² min(a²,b²).y²
\Longrightarrow a²x² + b²y² min(a²,b²).x²+ min(a²,b²).y²
= min(a²,b²).(x²+y²)
\Longrightarrow \sqrt{a²x² + b²y²} \sqrt{min(a²,b²).(x²+y²)}
= \sqrt{min(a²,b²)}\sqrt{x²+y²}
= c2\sqrt{x²+y²}
avec c2 = \sqrt{min(a²,b²)}>0
Alors c2 est plus grand nombre >0 tel que N(x,y) c2\sqrt{max(a²,b²)}

Posté par
luzakre : Norme 02-11-15 à 21:36

Citation :
Je crois qu'il n'est pas nécessaire de développer 2\sqrt{a²x² + b²x²}\sqrt{a²x'² + b²x'²} car il ne conduit à rien.
Donc comment faire monsieur?

Simplement dire que \sqrt{.} est un réel positif, de même que le produit de deux réels positifs !

Posté par
guufullnewre : Norme 02-11-15 à 21:37

désolé pour les erreurs
(x'² +y'²) l'erreur est au niveau de cette Ecriture.

Posté par
ThierryPomare : Norme 02-11-15 à 21:47

Voir ce que j'ai rédigé le 02-11-15 à 21:19 !

Posté par
ThierryPomare : Norme 02-11-15 à 21:58

Citation :
B(0,r) est une ellipse de centre 0 et de distances focales r/a et r/b.


Tu es certain ?

Posté par
guufullnewre : Norme 02-11-15 à 22:23

ThierryPoma @ 02-11-2015 à 21:58

Citation :
B(0,r) est une ellipse de centre 0 et de distances focales r/a et r/b.


Tu es certain ?


Je crois.

Posté par
luzakre : Norme 03-11-15 à 11:14

Bonjour !
\dfrac ra,\;\dfrac r b sont les longueurs des demi-axes, pas la distance focale (il n'y en a qu'une !)

Posté par
guufullnewre : Norme 03-11-15 à 12:34

Ah oui! désolé

Posté par
ThierryPomare : Norme 03-11-15 à 14:15

Bonjour,

Certes ! Mais il eut été préférable d'écrire que B(0,\,r) est boule fermée dont la frontière est une ellipse de (...) Penser à la distinction entre cercle et disque (ouvert ou fermé) !!

Bonne journée !

Posté par
guufullnewre : Norme 03-11-15 à 14:50

Merciii


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