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norme
Bonjour
Voici une proposition :
Si
Dans la démonstration, on utilise la norme :
J'aimerai savoir pourquoi, même si ça facilite la démonstration, pourquoi ne pas choisir une BON? Il me semble que ces deux normes sont les mêmes dans une BON?
Bonsoir mousse42
Tu peux choisir une base Orthonormée si tu veux, mais ça ne t'apportera rien de plus; On ne s'en servira pas dans la démonstration.
Évidemment, je précise, ce dont on ne se servira pas, c'est de la propriété de la base d'être orthonormée.
Bonjour
En l'état, l'énoncé est trivial : attention à ne pas confondre fini et de dimension finie ! Des espaces vectoriels finis, j'en connais pas trente-six mille !
oui Jezebeth, je parle de dimension finie. En effet le seul EV fini est le singleton .
Ce qui me posait problème, c'était d'utiliser la norme au lieu de
pour démontrer cette proposition
Je vois ce que tu vas me dire, mais considérant qu'en topologie le corps de base est rarement autre que ou
...
Bonjour
certes, mais à isomorphisme près, un ev qui ne contient que le vecteur nul, que ce soit le vecteur nul de IR, le polynôme nul, la suite nulle, la fonction nulle sur un intervalle donné ou tout autre vecteur nul, ça revient au même
Sinon qu'appelles-tu norme -1 ? à part dans les IK^n (où on choisit d'office la base canonique), il faut commencer par choisir une base pour les définir .... on parle d'ailleurs de norme-1 attachée à telle base...
merci lafol, c'est bien ce que j'avais en tête, car la distance définie par la norme donne le plus court chemin d'un point à un autre en respectant les directions des vecteurs qui composent la base. (c'est peut être mal dit, c'est l'idée qui compte)
La norme est la distance de Manhattan
La démonstration se fait à partir d'une base quelconque de , elle n'utlise plus la norme-1 mais celle qui est définie comme ceci :
avec
et
une base de
que l'on prenne une norme ou une autre, peu importe, au début, il faut écrire simplement les choses :
Pour écrit dans une base quelconque on a :
Et là c'est fini en prenant et pour norme pratique sur
Fin de l'histoire et on se fiche pas mal que la norme dépende de la base pour cause d'équivalence universelle.
merci lafol, c'est bien ce que j'avais en tête, car la distance définie par la norme
La norme
"la" base ? laquelle ?
La démonstration se fait à partir d'une base quelconque de
c'est exactement ça qui s'appelle norme-1 associée à la base B ....
On tourne un peu en rond !
Je pense que les notations sont trompeuses et que l'exercice consiste à démontrer la continuité de pour deux normes arbitraires, disons
.
Et je ne vois pas comment s'en sortir sans établir au préalable une relation entre la norme et la norme usuelle définie, dans une base donnée, par
jsvdb a fait un bout du chemin en montrant
Il manque alors une inégalité, de préférence une majoration dans le sens .
Cette inégalité s'obtient en considérant l'application . Elle est
-lipschitzienne de
vers
et en prenant le minimum
de cette fonction sur la sphère unité pour la norme
on obtient l'inégalité voulue.
Merci luzak, je commençais à me poser la question si ces normes n' étaient pas des normes quelconques. Maintenant que tu confirmes tout devient claire, un grand merci!
Il aurait dû appeler ces norme N_1 et N_2 plutôt que
Le fait de choisir la norme associé à une base de
, facilite la preuve. Il utilise le fait que toutes les normes de
sont équivalentes, argument à admettre pour l'instant.
Ce n'est pas un exercice mais une proposition du cours. La preuve est simple, mais je ne comprenais pas la démarche.
Merci
jsvdb a fait un bout du chemin en montrant
Il manque alors une inégalité, de préférence une majoration dans le sens
C'est exactement ce que je sous-entends quand je rajoute ceci :
Fin de l'histoire et on se fiche pas mal que la norme dépende de la base pour cause d'équivalence universelle.
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