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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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norme

Posté par
mousse42
11-07-19 à 18:25

Bonjour
Voici une proposition :

Citation :

(E_1,||\cdot ||_1)\;\text{et}\;(E_2,||\cdot ||_2) deux EVNs

Si E_1 est fini, alors toute application linéaire de E_1 dans E_2 est continue.

Dans la démonstration, on utilise la norme : ||\cdot||:x\mapsto \sum_{i=1}^n |\lambda_i| avec x=\sum_{i=1}^n \lambda_i e_1 et B=\Big\{e_i\Big\}_{i=1}^n une base de E_1 au lieu d'utiliser la norme ||\cdot||_1 La justification donnée est que toutes normes de E_1 sont équivalentes cependant c'est à admettre, la preuve se trouve dans un chapitre en fin de cours.

J'aimerai savoir pourquoi, même si ça facilite la démonstration, pourquoi ne pas choisir une BON? Il me semble que ces deux normes sont les mêmes dans une BON?

Posté par
jsvdb
re : norme 11-07-19 à 18:29

Bonsoir mousse42
Tu peux choisir une base Orthonormée si tu veux, mais ça ne t'apportera rien de plus; On ne s'en servira pas dans la démonstration.

Posté par
jsvdb
re : norme 11-07-19 à 18:31

Évidemment, je précise, ce dont on ne se servira pas, c'est de la propriété de la base d'être orthonormée.

Posté par
mousse42
re : norme 11-07-19 à 18:47

Bonsoir jsvdb et merci

Posté par
Jezebeth
re : norme 11-07-19 à 20:13

Bonjour

En l'état, l'énoncé est trivial : attention à ne pas confondre fini et de dimension finie ! Des espaces vectoriels finis, j'en connais pas trente-six mille !

Posté par
mousse42
re : norme 11-07-19 à 21:14

oui Jezebeth, je parle de dimension finie. En effet le seul EV fini est le singleton \{0\}.

Ce qui me posait problème, c'était d'utiliser la norme ||x ||:=\sum_{i=1}^n|\lambda_i|  au lieu de ||\cdot||_1 pour démontrer cette proposition

Posté par
jsvdb
re : norme 11-07-19 à 21:46

J'en connais plein des EV finis ...

Posté par
Jezebeth
re : norme 11-07-19 à 21:50

Je vois ce que tu vas me dire, mais considérant qu'en topologie le corps de base est rarement autre que \mathbb{R} ou \mathbb{C}...

Posté par
mousse42
re : norme 11-07-19 à 22:00

D'ailleur je pense que c'est une erreur de dire qu'il existe un seul EV  \{0\} car 0_{\C^{\N}}\ne 0_{\mathcal{M}_n(\R)}

Posté par
lafol Moderateur
re : norme 11-07-19 à 22:15

Bonjour
certes, mais à isomorphisme près, un ev qui ne contient que le vecteur nul, que ce soit le vecteur nul de IR, le polynôme nul, la suite nulle, la fonction nulle sur un intervalle donné ou tout autre vecteur nul, ça revient au même

Posté par
lafol Moderateur
re : norme 11-07-19 à 22:16

Sinon qu'appelles-tu norme -1 ? à part dans les IK^n (où on choisit d'office la base canonique), il faut commencer par choisir une base pour les définir .... on parle d'ailleurs de norme-1 attachée à telle base...

Posté par
mousse42
re : norme 11-07-19 à 22:37

merci lafol, c'est bien ce que j'avais en tête, car la distance définie par la norme ||\cdot||_1 donne le plus court chemin d'un point à un autre en respectant les directions des vecteurs qui composent la base. (c'est peut être mal dit, c'est l'idée qui compte)

La norme ||\cdot||_1 est la distance de Manhattan

La démonstration se fait à partir d'une base quelconque de E_1, elle n'utlise plus la norme-1 mais celle qui est définie comme ceci :

||\cdot||:x\mapsto \sum_{i=1}^n |\lambda_i| avec x=\sum_{i=1}^n \lambda_i e_1 et B=\Big\{e_i\Big\}_{i=1}^n une base de E_1

Posté par
jsvdb
re : norme 11-07-19 à 23:00

que l'on prenne une norme ou une autre, peu importe, au début, il faut écrire simplement les choses :

Pour x = (x_1,\cdots,x_n) écrit dans une base quelconque on a :

||f(x)|| \leq \sum_{i=1}^n|x_i|.||f(e_i)||

Et là c'est fini en prenant \lambda = \max \{||f(e_i)||\} et pour norme pratique sur E_1 : N(x) = \sum_{i=1}^n|x_i|

Fin de l'histoire et on se fiche pas mal que la norme dépende de la base pour cause d'équivalence universelle.

Posté par
lafol Moderateur
re : norme 11-07-19 à 23:13

mousse42 @ 11-07-2019 à 22:37

merci lafol, c'est bien ce que j'avais en tête, car la distance définie par la norme ||\cdot||_1 donne le plus court chemin d'un point à un autre en respectant les directions des vecteurs qui composent la base. (c'est peut être mal dit, c'est l'idée qui compte)

La norme ||\cdot||_1 est la distance de Manhattan


"la" base ? laquelle ?
Citation :

La démonstration se fait à partir d'une base quelconque de E_1, elle n'utlise plus la norme-1 mais celle qui est définie comme ceci :

||\cdot||:x\mapsto \sum_{i=1}^n |\lambda_i| avec x=\sum_{i=1}^n \lambda_i e_1 et B=\Big\{e_i\Big\}_{i=1}^n une base de E_1


c'est exactement ça qui s'appelle norme-1 associée à la base B ....

Posté par
mousse42
re : norme 11-07-19 à 23:30

oui, c'est vrai...

Posté par
luzak
re : norme 12-07-19 à 00:13

On tourne un peu en rond !

Je pense que les notations sont trompeuses et que l'exercice consiste à démontrer la continuité de f pour deux normes arbitraires, disons \nu_1,\;\nu_2 .

Et je ne vois pas comment s'en sortir sans établir au préalable une relation entre la norme \nu_1 et la norme usuelle définie, dans une base donnée, par \nu(x)=\sum_{k...}|x_k|

jsvdb a fait un bout du chemin en montrant \nu_2(f(x))\leq\lambda\nu(x)

Il manque alors une inégalité, de préférence une majoration dans le sens \nu(x)\leq\beta\nu_1(x).
Cette inégalité s'obtient en considérant l'application \theta : x\mapsto\nu(x). Elle est \sup(\nu_1(e_k))-lipschitzienne de (E_1,\nu) vers (\R,|.|) et en prenant le minimum \beta de cette fonction sur la sphère unité pour la norme \nu on obtient l'inégalité voulue.

Posté par
mousse42
re : norme 12-07-19 à 00:43

Merci luzak, je commençais à me poser la question si ces normes n' étaient pas des normes quelconques. Maintenant que tu confirmes luzak tout devient claire, un grand merci!

Il aurait dû appeler ces norme N_1 et N_2 plutôt que ||\cdot ||_i

Le fait de choisir la norme ||\cdot ||_1 associé à une base de E_1, facilite la preuve. Il utilise le fait que toutes les normes de E_1 sont équivalentes,  argument à admettre pour l'instant.

Ce n'est pas un exercice mais une proposition du cours. La preuve est simple, mais je ne comprenais pas la démarche.

Merci

Posté par
jsvdb
re : norme 12-07-19 à 01:47

luzak @ 12-07-2019 à 00:13

jsvdb a fait un bout du chemin en montrant \nu_2(f(x))\leq\lambda\nu(x)
Il manque alors une inégalité, de préférence une majoration dans le sens \nu(x)\leq\beta\nu_1(x).

C'est exactement ce que je sous-entends quand je rajoute ceci :
jsvdb @ 11-07-2019 à 23:00

Fin de l'histoire et on se fiche pas mal que la norme dépende de la base pour cause d'équivalence universelle.

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