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Norme d'application linéaire

Posté par
lavache
02-02-19 à 19:12

Bonjour, je viens de découvrir les normes d'applications linéaires. Je cherche à établir les égalités suivantes laissées en exercice dans mon cours.

||A||_{\cal{L}}_{(E,F)} := \inf\left\{c>0 : \forall x\in E, ||Ax||_{F}\leq c||x||_{E} \right\}\\ = \sup_{x\neq 0}\left\{\frac{||Ax||_{F}}{||x||_{E}} \right\}\\ = \sup_{||x||_{E}\: \leq 1}\left\{||Ax||_{F}} \right\}\\ = \sup_{||x||_{E}\: = 1}\left\{||Ax||_{F} \right\}

Je ne vois pas du tout comment faire, sauf pour les deux derniers ou je procède grâce à une indication trouvée sur internet que voici :

\left\{A(x) : ||x||_{E} \leq 1\right\} = \left\{rA(y) : ||y||_{E}=1,\; r \in \left[0,1 \right] \right\}

Je l'ai montrée en posant  r = ||x||_{E}  et donc  y = \frac{x}{r} = \frac{x}{||x||_{E}}
enfin, j'écris

\sup_{||x||_{E}\leq 1}\left\{||A(x)||_{F} \right\} = \sup_{||y||_{E}=1}\left\{||rA(y)||_{F},\: r \in \left[0,1 \right] \right\} = \sup_{||y||_{E}=1}\left\{||A(y)||_{F}\right\}

Est-ce correct ? Comment faire les autres ?

Merci d'avance !

Posté par
luzak
re : Norme d'application linéaire 03-02-19 à 09:02

Bonjour !
Donne un nom à tes ensembles (ceux dont tu cherches les bornes) et établis des relations d'inclusion :

I=\{c\in\R,\;\forall x\in E,\;\lVert u(x)\rVert\leqslant c\lVert x\rVert\}

J=\{\lVert u(x)\rVert,\;\lVert x\rVert\leqslant 1\}

  K=\{\lVert u(x)\rVert,\;\lVert x\rVert= 1\}

L=\left\{\dfrac{\lVert u(x)\rVert}{\lVert x\rVert},\;x\in E\setminus\{0\}\right\}

Et tu démontres que \min I=\inf I=\sup J=\sup K=\sup L. A noter que \min est plus précis que \inf : la borne inférieure est élément de I.

Les ensembles K et L sont identiques.
K\subset J
Tout élément de I majore L et réciproquement.

Je te laisse chercher, sinon tu reviens avec des questions précises selon mes notations.

Posté par
carpediem
re : Norme d'application linéaire 03-02-19 à 10:22

salut

si k est un réel alors il suffit de savoir que

kAx = A(kx)

||kx|| = |k| ||x||

il suffit alors de prendre k = 1/ ||x||

...

Posté par
lavache
re : Norme d'application linéaire 03-02-19 à 12:04

Je dirais que I est fermé et minoré par 0 donc on a bien \inf I = \min I.

C'est une question que je me posais en lisant la démo de mon cours qui suit.
Elle commence par :
Soit (f_{n})_{n \in N} une suite de Cauchy dans {\cal{L}}(E,F), on a :
\forall x \in E, ||f_{n}(x)-f_{m}(x)||\leq ||f_{n}-f_{m}||.||x||
Je me demandais donc si l'inf était un min.. j'ai ma réponse merci !

Par contre je n'arrive toujours pas à établir les égalités..

K=L
c'est fait en prenant  y=\frac{x}{||x||}
Donc  \sup K = \sup L

K\subset J
ça se voit
On a  \sup K \leq \sup J
Mais je ne vois pas comment terminer..
Cela méthode marche-t-elle ?

lavache @ 02-02-2019 à 19:12

\left\{A(x) : ||x||_{E} \leq 1\right\} = \left\{rA(y) : ||y||_{E}=1,\; r \in \left[0,1 \right] \right\}

\sup_{||x||_{E}\leq 1}\left\{||A(x)||_{F} \right\} = \sup_{||y||_{E}=1}\left\{||rA(y)||_{F},\: r \in \left[0,1 \right] \right\} = \sup_{||y||_{E}=1}\left\{||A(y)||_{F}\right\}

► Tout élément de I majore L
ça se voit aussi
On en déduit que  \inf I \geq \sup L
et réciproquement ? je ne vois pas trop

Posté par
luzak
re : Norme d'application linéaire 03-02-19 à 12:58

Il manque dans tes discours la preuve d'existence des bornes.
Pour I c'est facile puisque 0 minore I et I non vide par définition de la continuité en 0.

Il en résulte L non vide et majoré.

Ton argument "I est fermé" n'est pas très convaincant : pourrais-tu préciser ?

.............................................
Réglons le dernier problème (tout majorant de L est dans I et égalité \inf I=\sup L).
Supposons \mu majorant de L. Alors \dfrac{\lVert u(x)\rVert}{\lVert x\rVert}\leqslant\mu pour x\neq0 donc \lVert u(x)\rVert\leqslant\mu\lVert x\rVert (aussi lorsque x=0).

Ainsi \inf I\leqslant\sup L (et non pas l'inégalité inverse que tu énonces, qui est fausse) et, si l'inégalité est stricte, il existe \lambda\in I tel que \inf I\leqslant \lambda<\sup L ce qui contredit  \lambda majore L.

...................................
J\subset K puisque, si \lambda=\dfrac{\lVert u(x)\rVert}{\lVert x\rVert}\in J on a aussi \lambda=u(\dfrac{1}{\lVert x\rVert}x)\in J. Donc J=K.
Et les égalités J=K=L permettent de conclure.

Posté par
carpediem
re : Norme d'application linéaire 03-02-19 à 13:02

\left\{ \dfrac {||Ax||} {||x||}  /  x \ne 0 \right\} = \left\{ \| A \dfrac x {||x||} \|  /  x \ne 0\right\} = \{ ||Ax||  /  ||x|| = 1 \}

\{ ||Ax||  /  x \le 1 \} = \{0\} \cup \left\{ ||x||  \| A \dfrac x {||x||} \|  /  0 < ||x|| \le 1 \right\}

Posté par
lavache
re : Norme d'application linéaire 03-02-19 à 15:06

carpediem
Merci c'est très clair comme ça, on a bien J = L (= K)

luzak
I  est fermé :
I=\{c\in\R,\;\forall x\in E,\;\lVert u(x)\rVert\leqslant c\lVert x\rVert\}\\ = f^{-1}(\,[\sup_{x \in E^{*}} \left\{\frac{\lVert u(x)\rVert}{\lVert x\rVert}\right\},+\infty[\, )
où  f  est l'identité?

Je ne suis pas très sur.. Sinon comment montrer que  \inf I \in I


La borne supérieur de  J=K=L  existe :
K=\{\lVert u(x)\rVert,\;\lVert x\rVert= 1\}  est majoré, puisque u est continue et donc bornée (par K) car linéaire
\forall x \in E, \lVert u(x) \rVert \leq K
De plus,  K  est non vide.

Est-ce correct ?
Merci

Posté par
luzak
re : Norme d'application linéaire 03-02-19 à 16:43

Mais quand on dit que l'inégalité stricte est impossible !
Alors \sup L=\inf I majore L donc est élément de I.

............................
Ta relation avec image réciproque ne convient pas puisque tu ne sais pas si \sup L\in L (c'est même probablement faux en dimension non finie).
A noter qu'il est déraisonnable de noter E^* l'ensemble E\setminus\{0\} : sauf indication expresse, cette notation est réservée au dual.
......................

Citation :

K=\{\lVert u(x)\rVert,\;\lVert x\rVert= 1\}  est majoré, puisque u est continue et donc bornée (par K) car linéaire

Tu devrais choisir une lettre autre que K pour nommer un majorant de l'ensemble K

Posté par
lavache
re : Norme d'application linéaire 03-02-19 à 16:58

Merci beaucoup, je m'embrouillais mais c'est compris.
J'ai eu du mal
Et oui je n'ai pas choisi la bonne lettre



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