Bonjour, je viens de découvrir les normes d'applications linéaires. Je cherche à établir les égalités suivantes laissées en exercice dans mon cours.
Je ne vois pas du tout comment faire, sauf pour les deux derniers ou je procède grâce à une indication trouvée sur internet que voici :
Je l'ai montrée en posant et donc
enfin, j'écris
Est-ce correct ? Comment faire les autres ?
Merci d'avance !
Bonjour !
Donne un nom à tes ensembles (ceux dont tu cherches les bornes) et établis des relations d'inclusion :
Et tu démontres que . A noter que
est plus précis que
: la borne inférieure est élément de
.
Les ensembles et
sont identiques.
Tout élément de majore
et réciproquement.
Je te laisse chercher, sinon tu reviens avec des questions précises selon mes notations.
salut
si k est un réel alors il suffit de savoir que
kAx = A(kx)
||kx|| = |k| ||x||
il suffit alors de prendre k = 1/ ||x||
...
Je dirais que est fermé et minoré par 0 donc on a bien
.
C'est une question que je me posais en lisant la démo de mon cours qui suit.
Elle commence par :
Soit une suite de Cauchy dans
, on a :
Je me demandais donc si l'inf était un min.. j'ai ma réponse merci !
Par contre je n'arrive toujours pas à établir les égalités..
►
c'est fait en prenant
Donc
►
ça se voit
On a
Mais je ne vois pas comment terminer..
Cela méthode marche-t-elle ?
Il manque dans tes discours la preuve d'existence des bornes.
Pour c'est facile puisque
minore
et
non vide par définition de la continuité en 0.
Il en résulte non vide et majoré.
Ton argument " est fermé" n'est pas très convaincant : pourrais-tu préciser ?
.............................................
Réglons le dernier problème (tout majorant de est dans
et égalité
).
Supposons majorant de
. Alors
pour
donc
(aussi lorsque
).
Ainsi (et non pas l'inégalité inverse que tu énonces, qui est fausse) et, si l'inégalité est stricte, il existe
tel que
ce qui contredit
majore
.
...................................
puisque, si
on a aussi
. Donc
.
Et les égalités permettent de conclure.
carpediem
Merci c'est très clair comme ça, on a bien J = L (= K)
luzak
est fermé :
où est l'identité?
Je ne suis pas très sur.. Sinon comment montrer que
La borne supérieur de existe :
est majoré, puisque u est continue et donc bornée (par K) car linéaire
De plus, est non vide.
Est-ce correct ?
Merci
Mais quand on dit que l'inégalité stricte est impossible !
Alors majore
donc est élément de
.
............................
Ta relation avec image réciproque ne convient pas puisque tu ne sais pas si (c'est même probablement faux en dimension non finie).
A noter qu'il est déraisonnable de noter l'ensemble
: sauf indication expresse, cette notation est réservée au dual.
......................
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