soit E un espace de Banach et E' l'ensemble des forme lineaire de E vers R.  

On definie l'application lineaire continue de
P_x:IR.x→IR
                                λx→ λ||x||

j'ai eu á montrer facilement que
||P_x||=1
on definie ainsi un prolongement de P_x sur E par   P_x*
tel que ||P_x||=|| P_x*||

on etablie en suite par double inegalités que
||x||=sup{ |f(x)|, ||f||=1 et f∈E'}
en utilisant le fait que |P_x*|=||x|| et que
|P_x*|  est un element du dit ensemble

maintenant  on decide de montre cette fois que pour un endo A  de E continue.

on ||A||=sup{|f(Ax)|, ||x||=1 , ||f||=1 , f∈E'}

j'ai pu etablir sans souffrance que ||A||≥sup{|f(Ax)|, ||x||=1 , ||f||=1 , f∈E'}  

il reste donc a montrer que
||A||≤sup{|f(Ax)|, ||x||=1 , ||f||=1 , f∈E'}  

pour cela j'ai pensé comme precedenment a contruire un element du dit ensemble tel que sa norme soit egale a celle de A. mais sans veritable succes.

merci de vos idee