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Norme d'un opérateur intégral

Posté par
Elliotsis 09-09-14 à 10:51

Bonjour,

J'ai un exercice à résoudre et je bloque sur la fin.
Soit k \in \mathcal{C}([0,1] \to \mathbb{R}).
Démontrer que l'opérateur :
\\ \begin{array}{ccccc} \\ T & : & \left(\mathcal{C}([0,1] \to \mathbb{R}), ||.||_\infty \right) &\rightarrow  &  \mathbb{R}\\ \\ & & f &\mapsto & \int_0^1 k(t)f(t)dt\\ \\ \end{array} \\
est continu, calculer sa norme.

Comme c'est un opérateur linéaire, on montre qu'il est borné par la constante ||k||_1 ce qui prouve sa continuité.
Ainsi |||T||| \leq ||k||_1.
Par intuition, je dirai qu'on a bien |||T||| = ||k||_1.

Là où j'ai un problème, c'est pour trouver une fonction g telle que ||g||_\infty \leq 1 et |T(g)| = ||k||_1.
J'ai pensé à la fonction g(x) = signe(k), avec cette fonction cela fonctionnerait.
Problème : la fonction g n'est pas continue…
Solution : trouver une suite de fonction continues g_n qui à partir d'un certain rang vérifie \forall n, \ ||g_n||_\infty \leq 1 et qui tend vers ma fonction g.
Question : est-ce qu'une telle suite de fonctions existe ?
Si oui, quelle est son expression ?

Merci d'avance et bonne journée.

Posté par
Robotre : Norme d'un opérateur intégral 09-09-14 à 12:36

Fixe \epsilon >0. Que penses-tu de la fonction g_\epsilon : x\mapsto \dfrac{1}{\epsilon}\,\max(\min(k(x),\epsilon),-\epsilon) ?

Posté par
Elliotsisre : Norme d'un opérateur intégral 09-09-14 à 13:30

Si j'ai bien saisi,

\[ \\ g_\epsilon(x) = \left\{ \begin{array}{l l l} \\     -1 & \quad \text{si $k(x) < -\epsilon$}\\ \\     \frac{k(x)}{\epsilon} & \quad \text{si $k(x) \in ]-\epsilon,\epsilon[$}\\ \\     1 & \quad \text{si $k(x) > \epsilon$}\\ \\   \end{array} \\ \right. \\ \]

C'est bien ça ?

J'ai du mal à faire le rapport… peux-tu m'éclairer ?

Merci pour ta réponse.

Posté par
Elliotsisre : Norme d'un opérateur intégral 09-09-14 à 13:37

Avec cette expression, on remarque que g_\epsilon est continue.
J'ai l'impression, en faisant un graphe à la main, qu'elle tend vers le signe de k lorsque \epsilon \to 0 mais je vois mal comment le démontrer.

Posté par
Robotre : Norme d'un opérateur intégral 09-09-14 à 14:09

Tu pars sur une fausse piste. L'idée n'est pas de montrer une hypothétique convergence de g_\epsilon. Que veut-on ? Il faut revenir à la définition de la norme d'opérateur.
Alors :

Qu'est-ce que \Vert g_\epsilon \Vert_\infty ?

Qu'est-ce que \sup_{\epsilon >0} |T(g_\epsilon)| ?

Posté par
Elliotsisre : Norme d'un opérateur intégral 09-09-14 à 14:26

Merci pour ta réponse,

Dans notre cas, la définition de la norme d'opérateur devrait être la suivante :
$$ \\ \begin{aligned} \\ |||T||| & = \sup_{||f||_\infty \neq 0} \frac{|T(f)|}{||f||_\infty} \\ \\ & = \sup_{||f||_\infty \leq 1} |T(f)|\\ \\ & = \sup_{||f||_\infty = 1} |T(f)| \\ \end{aligned} \\ $$ \\

Pour ||g_\epsilon||_\infty :
||g_\epsilon||_\infty = sup_{x \in [0,1]} |g_\epsilon(x)| = 1 .

$$ \\ \begin{aligned} \\ sup_{\epsilon > 0} |T(g_\epsilon)| & = sup_{\epsilon > 0} \left|\int_{0}^1 k(t)g_\epsilon(t)dt\right|\\ \\ & = ... ?\\ \\ \end{aligned} \\ $$ \\

Posté par
Robotre : Norme d'un opérateur intégral 09-09-14 à 14:29

Ben oui, faut un peu travailler !

Posté par
Robotre : Norme d'un opérateur intégral 09-09-14 à 14:36

Allez, je ne suis pas chien, un petit coup de pouce :

intéresse toi à la majoration de \int_0^1 \left( |k(t)|- k(t)g_\epsilon(t)\right)\,dt.

Posté par
Elliotsisre : Norme d'un opérateur intégral 09-09-14 à 15:06

J'ai du mal à voir où on veut en venir donc j'ai un peu peur d'écrire n'importe quoi…

Si je comprend bien, on essaie de montrer que sup_{\epsilon > 0} |T(g_\epsilon)| = ||k||_1 .
Ainsi, en posant \epsilon_0 la valeur d'\epsilon pour laquelle le sup est atteint, on a notre fonction g = g(\epsilon_0) que l'on cherchait, n'est-ce pas ?

Pour la majoration, j'ai ça pour l'instant, je vois pas trop où on veut en venir donc j'ai un peu de mal à aller plus loin … :
$$ \\ \int_{0}^1 |k(t)| - k(t)g_\epsilon(t)dt = ||k||_1 - \int_{0}^1 k(t)g_{\epsilon}(t)dt \\ $$

Je vais essayer de calculer l'intégrale $$ \\ \int_{0}^1 k(t)g_{\epsilon}(t)dt \\ $$
et je te tiens au courant de mon avancée.

Merci encore.

Posté par
Elliotsisre : Norme d'un opérateur intégral 09-09-14 à 15:18

On commence par étendre k à \mathbb{R} en posant \forall t \in [0,1]^{c}, \ k(t) = 0 .

\\ \begin{aligned} \\ \int_{0}^1 k(t)g_{\epsilon}(t)dt & = \int_{\mathbb{R}} k(t)g_{\epsilon}(t)dt \\ \\ & = \int_{\left\{k(t) < -\epsilon\right\}} k(t)g_{\epsilon}(t)dt + \int_{\left\{k(t) \in ]-\epsilon,\epsilon[\right\}} k(t)g_{\epsilon}(t)dt + \int_{\left\{k(t) > \epsilon\right\}} k(t)g_{\epsilon}(t)dt\\ \\ & = \int_{\left\{k(t) < -\epsilon < 0\right\}} -k(t)dt + \int_{\left\{k(t) \in ]-\epsilon,\epsilon[\right\}} \frac{k^{2}(t)}{\epsilon}dt + \int_{\left\{k(t) > \epsilon > 0\right\}} k(t)dt\\ \\ & = \int_{\left\{|k(t)| > \epsilon\right\}} |k(t)|dt + \int_{\left\{|k(t)| < \epsilon\right\}} \frac{k^{2}(t)}{\epsilon}dt\\ \\ \end{aligned} \\

Suis-je sur la bonne voie ?

Posté par
Robotre : Norme d'un opérateur intégral 09-09-14 à 15:24

Tu écris effectivement n'importe quoi : tu penses qu'une borne supérieure est toujours atteinte ?

Tu dis que tu as du mal à voir où on veut en venir. C'est pourtant simple, et ça découle directement de la définition de la norme d'opérateur. Tu as montré que cette norme est inférieure ou égale à \Vert k\Vert_1, et tu subodores à juste titre que c'est \Vert k\Vert_1. Que faire alors, sinon essayer de trouver des fonctions g telles que \Vert g\Vert_\infty= 1 et que |T(g)| soit aussi proche de \Vert k\Vert_1 qu'on souhaite. C'est ce que je te propose avec la famille des g_\epsilon, et c'est pourquoi je te conseille de majorer \Vert k\Vert_1 -T(g_\epsilon) (qui est forcément \ge 0, comme tu l'auras remarqué).

Je ne te conseille pas de chercher à évaluer \int_{0}^1 k(t)g_{\epsilon}(t)dt.

Vu la façon dont g_\epsilon est définie, tu devrais pouvoir majorer |k(t)|- k(t)\,g_\epsilon(t) (indépendamùment de t).

Posté par
Robotre : Norme d'un opérateur intégral 09-09-14 à 15:26

Bon, je viens de voir ton calcul. Tu peux y arriver comme ça ; c'est à mon avis plus facile comme je le suggère, mais puisque tu as pris cee chemin, continue !

Posté par
Elliotsisre : Norme d'un opérateur intégral 09-09-14 à 15:56

Je sais bien qu'une borne sup n'est pas forcément atteinte, c'est pour ça que je cherchais une suite de fonctions à la base…
J'ai juste cru que dans l'exemple précédent, le sup était atteint.

Autant pour moi, c'est juste que je comprenais pas vraiment pourquoi on utilisait cette famille au début (on l'a toujours fait avec des suites de fonctions mais c'est vrai que cela revient à la même chose).
J'essayes juste de comprendre ce que je fais, c'est tout.

Pour finir mon raisonnement, lorsque \epsilon \to 0 , je pense qu'on peut montrer que l'intégrale précédente converge vers ||k||_1 en utilisant le théorème de la convergence dominée de Lebesgue :

\\ \begin{aligned} \\ T(g_\epsilon) & = \int_{\left\{|k(t)| > \epsilon\right\}} |k(t)|dt + \int_{\left\{|k(t)| < \epsilon\right\}} \frac{k^2(t)}{\epsilon}dt\\ \\ & \longrightarrow_{\epsilon \to 0} ||k||_1 \\ \end{aligned} \\

Posté par
Robotre : Norme d'un opérateur intégral 09-09-14 à 16:05

Tu cherchais à faire converger une suite de fonctions vers la fonction signe de k, ce qui est tout de même assez différent.
Ton argument se termine un peu en queue de poisson, non ?
Tu ne vois pas une majoration simple de \Vert k\Vert_1 -T(g_\epsilon) (tu peux distinguer les cas |k(t)| \ge \epsilon et |k(t)| < \epsilon pour établir cette majoration).

Posté par
Robotre : Norme d'un opérateur intégral 09-09-14 à 16:07

Pardon, j'ai copié-collé trop vite. Je te demande plutôt (dans un premier temps) une majoration simple de |k(t)|- k(t)\,g_\epsilon(t)

Posté par
Elliotsisre : Norme d'un opérateur intégral 09-09-14 à 16:24

Bon, je me lance.

Si |k(t)| \leq \epsilon, alors g_\epsilon(t) = \pm 1 et donc :
\\ $$ \\ |k(t)| - k(t)g_\epsilon(t) \leq 2|k(t)| \leq 2\epsilon \\ $$ \\

De même, si |k(t)| > \epsilon, alors g_\epsilon(t) = \frac{k(t)}{\epsilon} et donc :
\\ $$ \\ |k(t)| - k(t)g_\epsilon(t) = |k(t)| - \frac{k^2(t)}{\epsilon} \leq 0 \leq 2\epsilon \\ $$ \\

Donc l'intégrale précédente est majorée par 2\epsilon (vu que c'est une intégrale entre 0 et 1).
Pour \epsilon qui tend vers 0, on a donc l'intégrale qui tend vers 0 et donc T(g_\epsilon) qui tend vers ||k||_1 .

Posté par
Elliotsisre : Norme d'un opérateur intégral 09-09-14 à 16:26

Oulah non, j'ai confondu les cas là

Posté par
Robotre : Norme d'un opérateur intégral 09-09-14 à 16:30

Oui, tu as confondu grave. Mais tu vas corriger.

Posté par
Robotre : Norme d'un opérateur intégral 09-09-14 à 16:35

N'oublie pas que g(t) est égal au signe (\pm1) de k(t) dès que |k(t)|\geq \epsilon, et se balade entre -1 et +1 sinon.

Posté par
Elliotsisre : Norme d'un opérateur intégral 09-09-14 à 16:35

Si
\\ |k(t)| \geq \epsilon \\
Alors,
\\ $$ \\ |k(t)| - k(t)g_\epsilon(t) \leq |k(t)| - |k(t)| \leq 0 \leq \epsilon \\ $$ \\

Si
\\ |k(t)| < \epsilon \\
Alors,
\\ $$ \\ |k(t)| - k(t)g_\epsilon(t) = |k(t)| - \frac{k^2(t)}{\epsilon} \leq \epsilon \\ $$ \\

Je crois que c'est bon là.

Posté par
Robotre : Norme d'un opérateur intégral 09-09-14 à 16:48

Conclusion ?

Posté par
Elliotsisre : Norme d'un opérateur intégral 09-09-14 à 17:00

La même que tout à l'heure, i.e. :
\\ ||k||_1 - T(g_\epsilon) \leq \epsilon \\

Donc, pour \epsilon qui tend vers 0, on a clairement
\\ $$ \\ \int_{0}^1 |k(t)| - k(t)g_\epsilon(t) dt =  ||k||_1 - T(g_\epsilon) \longrightarrow_{\epsilon \to 0} 0 \\ $$ \\

Ainsi, T(g_\epsilon) \longrightarrow_{\epsilon \to 0} ||k||_1 .

Finalement, on peut donc en déduire que |||T||| = ||k||_1 .

Posté par
Robotre : Norme d'un opérateur intégral 09-09-14 à 18:36

Ben voila. Mais clairement, g_\epsilon n'a pas de limite dans \mathcal{C}([0,1],\R).

Posté par
Elliotsisre : Norme d'un opérateur intégral 09-09-14 à 18:37

Ok, merci encore pour ton aide !

Posté par
Robotre : Norme d'un opérateur intégral 09-09-14 à 18:43

Avec plaisir.


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