Bonjour,
J'ai cru comprendre que si f est différentiable de R² dans R, on a :
Je n'arrive pas à comprendre d'où ça vient, pouvez vous m'éclairer ? Qu'en est il pour f de R^n dans R ?
Sinon voici un exercice que j'ai essayé de faire :
Soit f : R²→R² définie par f(x,y) =(arctan y,arctan x)/2. Montrer que f admet un unique point fixe sur R² puis le déterminer.
Je calcule la différentielle à l'aide des dérivées partielles et j'obtiens :
J'ai besoin de calculer la norme d'opérateur de Df(x,y) pour utiliser le théorème du point fixe. Voici comment je tente de la majorer :
D'où
et f admet un unique point fixe. Je cherche au pif et comme f(0,0) = (0,0) je me dis que c'est celui là.
Sauf que bon, j'ai pris la norme infini pour les espaces de départ et d'arrivée parce que ça m'arrangeait mais je me demande si j'ai le droit de choisir n'importe quelle norme..
Cette façon de faire est elle correcte ?
Toutes les normes sont équivalentes en dimension finie mais j'ai l'impression qu'en prenant des normes différentes on obtiendra pas les même normes d'opérateur.
En utilisant la formule de début de poste, je peux facilement majorer par
Merci d'avance, je suis un peu embrouillé
Bah, ca dépend de la norme que tu mets sur les formes linéaires sur R^2. Par contre ce qui est sur c'est que la formule
Par contre sur l'espace des endomorphismes de R^n, alors la norme d'opérateur associé à la norme L² n'est pas la norme L² sur les matrices.
Le fait que f admette une point fixe ne dépend evidement pas des normes mais le fait que f soit contractante dépend effectivement des normes. Mais etre contractante n'est qu'une condition suffisante pour admettre un point fixe.
Pour teste le caractère contractant tu utilises l'inégalité des accroissements finis, qui dit que |f(x)-f(y)| est majoré par sup(|df|)|x-y| pour la norme d'opérateur sur df, associé à la norme |.| sur ton ouvert de R^n (ou ta variété), en fait tu peux prendre n'importe quel norme sur l'espace des applications linéaires verifiant |fx|<=A|f||x|, mais alors tu ne peux pas simplement du critère usuel, il faut le modifier par qqch comme |df|<k pour k<A sur ton domaine.
Juste une remarque supplémentaire, au debut de ton message, tu parles d'une application f:R^2->R, alors la norme duale (de la norme euclidienne) coincide avec la norme d'opérateur.
Mais ca n'est pas le cas pour une application linéaire de R^2 dans R^2 et pour appliquer le critère de contractance pour un point fixe pour une application f: R^2->R^2 tu va devoir considérer des applications linéaire de R^2 dans lui meme, et pas de R^2 dans R.
Un petit coup de l'inégalité de cauchy schwarz t'assure que cela coincide avec la norme d'opérateur associé aux normes euclidiennes sur R^2 et R.
Non, mais si tu utilises la norme d'opérateur (attachée à n'importe quelle norme sur l'espace de base) alors pas de souci. Ma remarque dit que non seulement tu peux prendre n'importe quel norme sur l'espace de base, mais tu n'es meme pas obligé d'utiliser la norme d'opérateur associé à cette norme, tu peux aussi utiliser une autre norme, à condition de modifier la condition pour la contractance.
Si tu prend une norme sur ton espace, et la norme d'opérateur associé, pour la norme sur les endormorphismes sur cet espace, alors pas de soucis.
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