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Norme d'une différentielle

Posté par
lavache
23-04-19 à 13:03

Bonjour,

J'ai cru comprendre que si f est différentiable de R² dans R, on a :
||Df(x,y)||_{L(R²,R)} = ||\nabla f(x,y)||_{2}

Je n'arrive pas à comprendre d'où ça vient, pouvez vous m'éclairer ? Qu'en est il pour f de R^n dans R ?
Sinon voici un exercice que j'ai essayé de faire :

Soit f : R²→R² définie par f(x,y) =(arctan y,arctan x)/2. Montrer que f admet un unique point fixe sur R² puis le déterminer.


Je calcule la différentielle à l'aide des dérivées partielles et j'obtiens :

Df(x,y)(h,k) = \frac{1}{2}(\frac{k}{1+x²}, \frac{h}{1+y²})

J'ai besoin de calculer la norme d'opérateur de Df(x,y) pour utiliser le théorème du point fixe. Voici comment je tente de la majorer :
||Df(x,y)(h,k)||_{\infty} = \frac{1}{2}||(\frac{k}{1+x²}, \frac{h}{1+y²})||_{\infty} \leq \frac{1}{2}||(h,k||_{\infty}

D'où \forall (x,y) \in R² \,,||Df(x,y)||_{L(R²)}\leq 1/2<1

et f admet un unique point fixe. Je cherche au pif et comme f(0,0) = (0,0) je me dis que c'est celui là.

Sauf que bon, j'ai pris la norme infini pour les espaces de départ et d'arrivée parce que ça m'arrangeait mais je me demande si j'ai le droit de choisir n'importe quelle norme..

Cette façon de faire est elle correcte ?
Toutes les normes sont équivalentes en dimension finie mais j'ai l'impression qu'en prenant des normes différentes on obtiendra pas les même normes d'opérateur.

En utilisant la formule de début de poste, je peux facilement majorer par \frac{\sqrt2}{2}

Merci d'avance, je suis un peu embrouillé

Posté par
Poncargues
re : Norme d'une différentielle 23-04-19 à 14:05

Bah, ca dépend de la norme que tu mets sur les formes linéaires sur R^2. Par contre ce qui est sur c'est que la formule

lavache @ 23-04-2019 à 13:03


||Df(x,y)|| = ||\nabla f(x,y)||_{2}

définit de manière unique une norme sur R^2^*.
Cette norme est euclidienne est la norme duale au produit scalaire euclidien sur R^2.
Un petit coup de l'inégalité de cauchy schwarz t'assure que cela coincide avec la norme d'opérateur associé aux normes euclidiennes sur R^2 et R.

Posté par
Poncargues
re : Norme d'une différentielle 23-04-19 à 14:08

Par contre sur l'espace des endomorphismes de R^n, alors la norme d'opérateur associé à la norme L² n'est pas la norme L² sur les matrices.

Posté par
lavache
re : Norme d'une différentielle 23-04-19 à 14:19

Citation :
En utilisant la formule de début de poste, je peux facilement majorer par \frac{\sqrt2}{2}

En fait non je me suis emmêlé les pinceaux.

Pourtant le fait que f admet un point fixe ne devrait pas dépendre des normes choisies, je me trompe?

Posté par
Poncargues
re : Norme d'une différentielle 23-04-19 à 14:29

Le fait que f admette une point fixe ne dépend evidement pas des normes mais le fait que f soit contractante dépend effectivement des normes.  Mais etre contractante n'est qu'une condition suffisante pour admettre un point fixe.

Pour teste le caractère contractant tu utilises l'inégalité des accroissements finis, qui dit que |f(x)-f(y)| est majoré par sup(|df|)|x-y| pour  la norme d'opérateur sur df, associé à la norme |.| sur ton ouvert de R^n (ou ta variété), en fait tu peux prendre n'importe quel norme sur l'espace des applications linéaires verifiant |fx|<=A|f||x|, mais alors tu ne peux pas simplement du critère usuel, il faut le modifier par qqch comme |df|<k pour k<A sur ton domaine.

Posté par
Poncargues
re : Norme d'une différentielle 23-04-19 à 14:33

Juste une remarque supplémentaire, au debut de ton message, tu parles d'une application f:R^2->R, alors la norme duale (de la norme euclidienne) coincide avec la norme d'opérateur.

Mais ca n'est pas le cas pour une application linéaire de R^2 dans R^2 et pour appliquer le critère de contractance pour un point fixe pour une application f: R^2->R^2 tu va devoir considérer des applications linéaire de R^2 dans lui meme, et pas de R^2 dans R.

Posté par
lavache
re : Norme d'une différentielle 23-04-19 à 19:13

Citation :
en fait tu peux prendre n'importe quel norme sur l'espace des applications linéaires verifiant |fx|<=A|f||x|, mais alors tu ne peux pas simplement du critère usuel, il faut le modifier par qqch comme |df|<k pour k<A sur ton domaine.


Je ne comprends pas vraiment.. on a |f| = min{c>0, |fx|<=c|x| pour tout x} donc que veut dire "|fx|<=A|f||x|", je ne vois pas ce qu'est A.

J'ai utilisé la norme infinie dans mon exercice, cela suffit il ? Puis-je prendre la norme qui me plait ? ça me semble bizarre.

Posté par
lavache
re : Norme d'une différentielle 23-04-19 à 19:36

Un petit coup de l'inégalité de cauchy schwarz t'assure que cela coincide avec la norme d'opérateur associé aux normes euclidiennes sur R^2 et R.


Comme ceci ? En notant (a,b) le gradient de f.

|Df(x,y)(h,k)| = |ha + bk| = |<(a,b),(h,k)>| \leq ||(a,b)||_{2} \,. ||h,k||_{2}\\ ||Df(x,y)||\leq ||(a,b)||_{2}

Comment montrer l'égalité?

Posté par
Poncargues
re : Norme d'une différentielle 23-04-19 à 20:04

lavache @ 23-04-2019 à 19:13


Je ne comprends pas vraiment.. on a |f| = min{c>0, |fx|<=c|x| pour tout x}

Absolument pas. Meme si on remplace le min par un inf (enfin en dimension finie c'est bien un min)
Ceci caractérise la norme d'opérateur, mais pour d'autres normes on a aucune raison d'avoir ca.

Si |.| est une norme sur l'espace des endomorphismes (continus) d'un espace V, alors une norme ne verifie pas nécéssairement |fx| majoré par |f||x|.
C'est le cas bien sur de la norme d'opérateur mais ca n'est pas le cas en general.
Ce que je dis c'est que peux prendre n'importe quelle norme |.| sur l'espace des endormorphismes (continus) pour lesquels il existe un constante A tel que |f(x)|<=A|f||x|. Si V est de dimension finie alors un tel A existe pour n'importe quel norme.

Par contre comme je l'ai dit, tu dois modifier la condition portant sur la norme de la differentielle pour prouver la contractance.

Posté par
Poncargues
re : Norme d'une différentielle 23-04-19 à 20:06

lavache @ 23-04-2019 à 19:36



|Df(x,y)(h,k)| = |ha + bk| = |<(a,b),(h,k)>| \leq ||(a,b)||_{2} \,. ||h,k||_{2}\\ ||Df(x,y)||\leq ||(a,b)||_{2}

Comment montrer l'égalité?

En prenant (h,k)=(a,b)

Posté par
Poncargues
re : Norme d'une différentielle 24-04-19 à 09:37

Poncargues @ 23-04-2019 à 20:04


Absolument pas. Meme si on remplace le min par un inf (enfin en dimension finie c'est bien un min)

Juste une remarque, tu as raison, c'est bien un min, meme en dimension infinie.
Ca ne change pas le reste de mes remarques.

Posté par
lavache
re : Norme d'une différentielle 24-04-19 à 15:04

Citation :
En prenant (h,k)=(a,b)


Merci

Citation :

Par contre comme je l'ai dit, tu dois modifier la condition portant sur la norme de la differentielle pour prouver la contractance.


Pourtant la norme que j'ai prise est bien la norme d'opérateur subordonnée à || . ||_{\infty}  et || . ||_{\infty} non ?
On a donc bien  ||Df(x,y)(h,k)||_{\infty}\leq ||Df(x,y)||_{L(R²)} ||(h,k)||_{\infty}
et A = 1 et  ||Df(x,y)||_{L(R²)} ||\leq \frac{1}{2}
Dans le théorème des accroissements finis on ne précise pas quelle normes sont utilisées, qu'est-ce que je n'ai pas compris?

Posté par
Poncargues
re : Norme d'une différentielle 24-04-19 à 15:17

Non, mais si tu utilises la norme d'opérateur (attachée à n'importe quelle norme sur l'espace de base) alors pas de souci. Ma remarque dit que non seulement tu peux prendre n'importe quel norme sur l'espace de base, mais tu n'es meme pas obligé d'utiliser la norme d'opérateur associé à cette norme, tu peux aussi utiliser une autre norme, à condition de modifier la condition pour la contractance.

Si tu prend une norme sur ton espace, et la norme d'opérateur associé, pour la norme sur les endormorphismes sur cet espace, alors pas de soucis.

Posté par
lavache
re : Norme d'une différentielle 24-04-19 à 15:43

C'est très clair merci beaucoup !

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