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Niveau Licence Maths 1e ann
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Norme de Frobenius

Posté par
cafeadicto
30-03-09 à 19:14

Bonsoir,

Je dois montrer que la norme de Frobenius (\sqrt{tr(A*A)}) est une norme matricielle.

J'ai montré que cette norme est une norme (!) mais mais je bloque sur la partie matricielle.

Je dois egalement dire si elle est subordonnée à une norme vectorielle, je pense que non mais la je n'ai aucune idée pour le démontrer.

Merci de votre aide!

Posté par
fade2black
re : Norme de Frobenius 30-03-09 à 19:34

Je me trompe peut-être, mais pour moi "norme matricielle" ça veut dire "norme sur l'espace des matrices". Ton application est définie sur l'ensemble des matrices, donc si t'as montré que c'était une norme, c'est par conséquent une norme matricielle !

En fait on a l'égalité suivante :

|||A|||=sqrt{tr(A*A)}, où |||A|||=sup(N2(AX)) pour N2(X)=1, et avec N2 la norme euclidienne bien connue pour les matrices colonnes (racine de la somme des coeff au carré). Autrement dit, |||.||| est la norme matricielle subordonnée à N2.
Tu peux montrer cette égalité d'abord pour les matrices symétriques, puis essaye de généraliser pour toute matrice.

Posté par
cafeadicto
re : Norme de Frobenius 30-03-09 à 19:40

Heu moi j'avais comme définition de norme matricielle: une norme verifiant N(AB)N(A)N(B). Je vais essayer de voir pour le coté subordonné!

En tout cas deja merci pour cette reponse

Posté par
fade2black
re : Norme de Frobenius 30-03-09 à 20:07

Houlà moi j'ai répondu un peu vide.

On a l'égalité suivante :

|||A|||=sqrt{r(A*A)} où r(M) est le maximum des modules des valeurs propres. Je ne sais pas si c'est égal à la trace il faut que je voie

Posté par
fade2black
re : Norme de Frobenius 30-03-09 à 20:30

Pour montrer que c'est une norme matricielle, je serais tenté de le faire de façon bourrine.

Tu écris N(AB)² comme la double somme des [(AB)_i,j]², puis tu exprimes (AB)_i,j comme une somme (traditionnelle formule de multiplication des matrices), Tu fais alors Cauchy Schwarz sur [(AB)_i,j]² et tu devrais conclure non ? Faudrait que je l'écrive pour voir... ^^

Posté par
fade2black
re : Norme de Frobenius 30-03-09 à 20:36

Ouais ça marche : p.74

Posté par
cafeadicto
re : Norme de Frobenius 30-03-09 à 20:39

Tres bien
Merci beaucoup!!

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Norme de Frobenius 30-03-09 à 23:15

Bonjour,

il n'y a pas de p.74 ou c'est moi qui rêve?

Posté par
1 Schumi 1
re : Norme de Frobenius 30-03-09 à 23:18

Il y a bien une page 74, mais je vois pas trop ce qu'elle a à voir avec des normes d'algèbre...

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Norme de Frobenius 30-03-09 à 23:40

Oui enfin bon c'est la dernière page quoi, c'est comme si elle n'existait pas!

Posté par
fade2black
re : Norme de Frobenius 31-03-09 à 21:03

Haha, je vois page "9/74" et du coup je donne le nombre 74. Deux nombres et je me trompe, ça promet pour les partiels de cette semaine

C'était page 9 que je voulais dire !

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Norme de Frobenius 31-03-09 à 22:22

OK fade, je préfère ça!

Tu doit être à fond dans tes exams, bonnes révisions (et merci pour le pdf au passage)!



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