Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Norme (équivalence)

Posté par
mousse42 23-09-20 à 20:06

Bonjour,

Soit $(a,b,c,d)\in \R^4$ ,
1) À quelle condition définit-on une norme sur $\R^2$ en posant $N(x,y)=|ax+by|+|cx+dy|$

2) Trouver les meilleurs constantes $\lambda, \mu\in \R_+^*$ telles que

$\forall(x,y)\in\R^2,\;\lambda||(x,y)||_1\le N(x,y)\le \mu||(x,y)||_1$

La première question c'est fait, on a $ad-bc\ne 0$

La seconde j'ai trouvé $\mu=\max\{|a|+|c|,|b|+|d|\}$

Pour la constante $\lambda$ , je ne vois pas du tout

Posté par re : Norme (équivalence) 23-09-20 à 20:29

Bonjour,
Il n'est pas idiot de remarquer que N(x,y)=N_1(f(x,y)) où f est l'endomorphisme de R^2 auquel tu pense, et qui est d'ailleurs un automorphisme.
Du coup tu as prouvé que N_1(f(x,y)) est majoré par mu(f) N_1(x,y).
En particulier tu peux appliquer ça à (x,y)=f^{-1}(a,b)...

Ici j'ai noté N_1 pour la norme 1.

Posté par re : Norme (équivalence) 23-09-20 à 20:43

Bonjour mokassin,

C'est clair que ce n'est pas idiot!!merci

Posté par re : Norme (équivalence) 23-09-20 à 21:13

ok, on trouve $\lambda=\dfrac{\det f}{\mu}$

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