Bonjour

Je pense que ton énonce n'est pas complet. Je subodore que la norme choisie sur E est définie par
N(f)=||f||+||f'||
où || est la norme de la convergence uniforme.

Merci Camélia !
Je comprends mieux maintenant ! Il y a effectivement un oubli dans l'énoncé.

Donc il s'agit de montrer l'existence d'une sous-suite convergente pour la norme N, c'est bien ça ?

Je viens de tomber sur le théorème d'Ascoli...

Bonsoir

Shipz Attention ton raisonnement ne tient pas :

Pour (fixé), la suite est bornée elle admet donc une sous-suite convergente. Oui

Notons sa limite. Non car il se peut très bien qu'il existe plusieurs suites extraites (voir une infinité) convergentes vers des limites différentes !

Et même si on utilise l'axiome du choix pour choisir pour chaque de une suite extraite avec une limite ,

on ne pourra pas justifier ni la continuité de ni la convergence uniforme des vers .

Ceci dit il y a bien un théorème derrière cet énoncé et dont les hypothèses doivent certainement être vérifiées par celui-ci

Peux tu énoncer le théorème d'Ascoli ?

Bonjour elhor_abdelali, et merci beaucoup pour ta réponse !

J'ai bien compris tes remarques.

J'ai un théorème d'Ascoli qui s'énonce ainsi : soit une suite de fonctions définies sur un intervalle fermé borné I, à valeurs réelles. On suppose que cette suite de fonctions est équicontinue et qu'il existe un réel strictement positif tel que pour tout n et pour tout .
Alors on peut extraire une sous-suite qui converge uniformément sur I vers une fonction continue .

Ici, par hypothèse de l'énoncé, on obtient qu'il existe une constante strictement positive telle que pour tout , pour tout .

J'ai l'impression que l'on va pouvoir extraire une suite convergente, mais pour la norme infinie, à condition d'avoir l'équicontinuité...

Je continue à réfléchir au problème.

Sinon, ce n'est pas demandé, mais j'ai montré que muni de la norme N de l'énoncé est complet.

Et bien tu es tout près de trouver et c'est la bornitude des dérivées qui va garantir l'hypothèse manquante qu'est l'equicontinuité

Pour le voir tu pourras appliquer le théorème des accroissements finis à chaque sur le segment

Exactement, merci elhor pour ton aide précieuse.

C'est un plaisir Shipz

Bonjour à tous,

@ Shipz : est-ce que tu pourrais renseigner ton profil en précisant son niveau stp ?

C'est par-ici : [lien]

extrait de la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?

Oui, indiquer son niveau (dans son profil) et celui du problème est obligatoire lorsqu'on pose une question.

Un correcteur pourra ainsi facilement juger s'il est en mesure de vous aider ou non. En l'absence de cette précision, aussi bien sur votre profil que sur le forum dans lequel le sujet est publié, il risque moins de vous indiquer une méthode que vous n'avez pas encore vue en classe, etc.

De même, si vous êtes élèves dans un pays francophone, vous pouvez consulter les équivalences des systèmes de niveaux scolaires afin de choisir le niveau de la classe française correspondant à votre classe. Cela permet au correcteur d'intégrer le fait que votre niveau scolaire ne correspond pas forcément à celui stipulé dans les programmes français en vigueur.

Il est de même demandé aux aidants de renseigner leur profil, ce qui en général donne une bonne indication du niveau de l'aide apportée.

Bonjour gbm, voilà qui est fait

_{***Merci ***}

Bonjour,
@Shipz,
Non, tu as sans doute oublié de valider.