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Niveau Maths sup
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Norme et Boule

Posté par
guufullnew 02-11-15 à 19:30

Bonjour,

Je viens de résoudre cette exercice:

Montrer que (x,y) supt\frac{|x+ty|}{1+t+t²} est une norme sur ²; dessiner la boule unité.

Et voila mon essai:

soit f:(x,y) supt\frac{|x+ty|}{1+t+t²}
soit (x,y) ²
f(x,y) = 0 \Longrightarrow supt\frac{|x+ty|}{1+t+t²} = 0
or 1+t+t² 0 car = 1-4=-3<0
\Longrightarrow |x+ty| = 0
\Longrightarrow x+ty = 0
\Longrightarrow x=y=0
cls: f(x,y) = 0 Alors (x,y) = (0,0) (*)
Soit et (x,y) ²
f((x,y) = f(x,y)
= supt|x+ty|/1+t+t²}
= supt|(x+ty)|/1+t+t²
= supt|||x+ty|/1+t+t²
= ||supt|x+ty|/1+t+t²
= ||f(x,y)
cls
f((x,y)) = ||f(x,y) (x,y) ² (**)
Soit (x,y),(x',y') ²
f((x,y) + (x',y')) = f(x+x',y+y')
= supt\frac{|x + x' +t(y+y')|}{1+t+t²}
= supt\frac{|x+ty + x' + ty'|}{1+t+t²}
or |x+ty + x' + ty'| |x + ty| + |x' + ty'|
\Longrightarrow supt\frac{|x+ty + x' + ty'|}{1+t+t²} supt\frac{|x + ty| + |x' + ty'|}{1+t+t²}
= supt\frac{|x + ty|}{1+t+t²} + \frac{|x' + ty'|}{1+t+t²}
= supt\frac{|x + ty|}{1+t+t²} + supt\frac{|x' + ty'|}{1+t+t²}
= f(x,y) + f(x',y')
cls: (x,y),(x',y') ²
f((x,y)+(x',y')) = f(x,y) + f(x',y') (***)
Donc d'après (*),(**) et (***) f est une norme sur ²
Alors (x,y) supt\frac{|x+ty|}{1+t+t²} est une norme sur ²
D'autre part, soit B(0,1) la boule unité
(x,y) B(0,r)
\Longrightarrow supt\frac{|x+ty|}{1+t+t²} 1
\Longrightarrow \frac{|x+ty|}{1+t+t²} 1 t
\Longrightarrow |x+ty| 1+t+t² , t
Mais je suis bloqué ici.

Merci d'avance

Posté par
verdurinre : Norme et Boule 02-11-15 à 19:43

Bonsoir,
dans la première partie, tu n'utilise pas le sup. C'est une erreur car, par exemple, on a |x-x|=0.
De façon plus générale, \forall (x,y)\in\R\times\R^*\ \exists t \in \R \quad |x+ty|=0

Posté par
guufullnewre : Norme et Boule 02-11-15 à 20:14

Dans quelle partie?
en montrant f(x,y) = 0 Alors (x,y) = 0?

Posté par
verdurinre : Norme et Boule 02-11-15 à 20:17

Oui.

Posté par
guufullnewre : Norme et Boule 02-11-15 à 20:20

J'ai pas compris oû l'erreur.
Pouvez-vous m'expliquer?

Posté par
verdurinre : Norme et Boule 02-11-15 à 20:46

Une correction.

Citation :
soit f:(x,y) supt\frac{|x+ty|}{1+t+t²}
soit (x,y) ²
f(x,y) = 0 \Longrightarrow supt\frac{|x+ty|}{1+t+t²} = 0
or 1+t+t² 0 car = 1-4=-3<0
\color{red}\Longrightarrow\limits\sup_{{t\in\R}} |x+ty| = 0
\Longrightarrow \color{red}\forall t\in \R}\ x+ty = 0
\Longrightarrow x=y=0

Posté par
guufullnewre : Norme et Boule 02-11-15 à 20:55

Ah oui!
D'accord, Mais que peut-on faire?

Posté par
verdurinre : Norme et Boule 02-11-15 à 21:11

Posté par
guufullnewre : Norme et Boule 02-11-15 à 21:42

Désolé Je suis tellement fatigué
et à propos la boule?


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