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Norme et matrice

Posté par
H_aldnoer 17-11-06 à 19:43

Donc voila,

on passe à autre chose !
E=M_{n}(\mathbb{R}), A\in E, A=(a_{i,j}).

Il faut montrer que N_{\infty}(A)=max\Bigsum_{i,j}^n |a_{i,j}| est une norme.

¤ Donc on a clairement que N(A)\ge 0 car |a_{i,j}|\ge 0.
¤ Supposons N_{\infty}(A)=0
Alors max\Bigsum_{i,j}^n |a_{i,j}|=0 soit \Bigsum_{i,j}^n |a_{i,j}|\le 0.
Mais \Bigsum_{i,j}^n |a_{i,j}|\ge 0. Donc \Bigsum_{i,j}^n |a_{i,j}|=0. D'ou A=0
¤ On a N_{\infty}(kA)=max\Bigsum_{i,j}^n |ka_{i,j}|=max\Bigsum_{i,j}^n |k|.|a_{i,j}|=|k|.max\Bigsum_{i,j}^n |a_{i,j}|=|k|N_{\infty}(A)
¤ Enfin :
N_{\infty}(A+B)=max\Bigsum_{i,j}^n |a_{i,j}+b_{i,j}|

Or |a_{i,j}+b_{i,j}|\le |a_{i,j}|+|b_{i,j}|
Donc :
\Bigsum_{i,j}^n|a_{i,j}+b_{i,j}|\le \Bigsum_{i,j}^n|a_{i,j}|+\Bigsum_{i,j}^n|b_{i,j}|
En passant au max, on a donc :
max \Bigsum_{i,j}^n|a_{i,j}+b_{i,j}|\le \Bigsum_{i,j}^n|a_{i,j}|+\Bigsum_{i,j}^n|b_{i,j}| \Leftrightarrow N_{\infty}(A+B)\le \Bigsum_{i,j}^n|a_{i,j}|+\Bigsum_{i,j}^n|b_{i,j}|

Mais \Bigsum_{i,j}^n|a_{i,j}|\le max \Bigsum_{i,j}^n|a_{i,j}|
et \Bigsum_{i,j}^n|b_{i,j}|\le max \Bigsum_{i,j}^n|b_{i,j}|
Soit N_{\infty}(A+B)\le max \Bigsum_{i,j}^n|a_{i,j}|+max \Bigsum_{i,j}^n|b_{i,j}|=N_{\infty}(A)+N_{\infty}(B)

?

Posté par
robby3Norme et matrice 17-11-06 à 19:51

oui ok et aprés c'est tout lol, la question c'est juste de montrer que c'est une norme??
sinon je pense bien que c'est tout bon.

Posté par
H_aldnoerre : Norme et matrice 17-11-06 à 19:53

Non après il faut montrer que :
N_{\infty}(AB)\le N_{\infty}(A)N_{\infty}(B) ...

Posté par
robby3Norme et matrice 17-11-06 à 19:54

en fait, aussi pour N(infini)(A)=0, tu veux le montrer donc tu écris ce que ça veux dire, tu "suppose pas", et aprés t'en déduis, que cela implique que chaque ai,j est nul donc que A est la matrice nul de Mn(R).

Posté par
robby3Norme et matrice 17-11-06 à 19:58

est ce que l'on a (|ai,j * bi,j|(|ai,j|)*(|bi,j|) ??

Posté par
robby3Norme et matrice 17-11-06 à 19:59

parce qu'en faite on l'inégalité au carré d'aprés Cauchy-Scwarz mais sans le carré??

Posté par
H_aldnoerre : Norme et matrice 17-11-06 à 20:01

Oula je doute que ce soit vrai!

Posté par
H_aldnoerre : Norme et matrice 17-11-06 à 20:02

Non non allons,
on a :
(\sum a_i b_i)^2\le \sum a_i^2 \sum b_i^2

Posté par
robby3re : Norme et matrice 17-11-06 à 20:04

oui oui mais si tu met des valeurs absolues ça marche aussi non??

Posté par
H_aldnoerre : Norme et matrice 17-11-06 à 20:06

ou tu veux mettre des valeurs absolues ?

Posté par
robby3re : Norme et matrice 17-11-06 à 20:10

Dans les sommes...tu vois mais je sais pas si ça va etre juste, il faudrait quelqu'un pour confirmer...

Posté par
H_aldnoerre : Norme et matrice 17-11-06 à 20:13

(\sum|a_ib_i|)^2\le\sum|a_i|^2\sum|b_i|^2
?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Norme et matrice 17-11-06 à 20:16

Oui ça c'est juste!

Posté par
robby3re : Norme et matrice 17-11-06 à 20:16

oui voila, comme ça ça marche non??

Posté par
robby3re : Norme et matrice 17-11-06 à 20:17

et si on enleve les carrés c'est faux?? (si c'est faux pourquoi?)

Posté par
kaiser Moderateurre : Norme et matrice 17-11-06 à 20:18

Bonsoir à vous deux

Cette dernère égalité est vraie mais pourquoi voulez-vous montrer ceci ?
Le terme général de la matrice AB n'est pas \Large{a_{i,j}b_{i,j}}.
C'est un peu plus compliqué que ça (c'est une somme en fait).

Kaiser

Posté par
robby3re : Norme et matrice 17-11-06 à 20:19

ahh oui exact Kaiser...(bonjour au passage lol), ceux sont des matrices...

Posté par
H_aldnoerre : Norme et matrice 17-11-06 à 20:22

Un petit coup de pouce kaiser ?

Posté par
robby3re : Norme et matrice 17-11-06 à 20:25

en fait on a AB=(ci,j)=somme de k=1 à n de aik*bkj...je crois bien

Posté par
robby3re : Norme et matrice 17-11-06 à 20:28

bon dsl je fais une pose je vais manger, je reviens aprés lol. à tout de suite

Posté par
H_aldnoerre : Norme et matrice 17-11-06 à 20:34

Par exemple,
y'a Cauchy-Schwarz dans :
\sqrt{|x_1|^2+...+|x_n|^2}\le |x_1|+...+|x_n|

?

Posté par
jeansebre : Norme et matrice 17-11-06 à 20:47

Kaiser a raison

Utilisez la formule du terme général de A.B et majorez en deux fois.

Posté par
H_aldnoerre : Norme et matrice 17-11-06 à 21:09

J'ai du mal avec 20:34 ?

Posté par
jeansebre : Norme et matrice 17-11-06 à 21:21

Es tu sur de ta definition de N(A)?

Ne serait-ce pas plutôt Sup(i) j=1 n  |aij|  ?

Posté par
H_aldnoerre : Norme et matrice 17-11-06 à 21:22

Non, c'est bien ce que j'ai donné ...
(je bloque toujours sur 20:34!!)

Posté par
kaiser Moderateurre : Norme et matrice 17-11-06 à 21:23

Cette inégalité est fausse.
Contre-exemple : n=2, \Large{x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2}}.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Norme et matrice 17-11-06 à 21:28

Ah bon ?
Même si l'on change le sens de l'inégalité ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Norme et matrice 17-11-06 à 21:33

Dans l'autre sens, on peut utiliser Cauchy-Schwarz et on tombe sur l'inégalité

\Large{|x_1|+...+|x_n|\leq\sqrt{n} \sqrt{|x_1|^2+...+|x_n|^2}}

Kaiser

Posté par
jeansebre : Norme et matrice 17-11-06 à 21:36

Je ne voudrais pas trop insister, mais je ne copmrends pas sur quoi porte le "Max" dans la définition de N(A) donnée.

Et ça ne correspond pas à la définition habituelle.

Posté par
H_aldnoerre : Norme et matrice 17-11-06 à 21:37

Ca doit être une erreur dans l'énoncé alors ... et dire que je me bat depuis tout à l'heur à démontrer que c'est vrai !
Je passe sur un autre exos, c'est remplie de faute j'ai l'impression je perd mon temps !

Posté par
H_aldnoerre : Norme et matrice 17-11-06 à 21:38

C'est donnée telle quelle dans l'énoncé jeanseb!
Mais s'il y a deja une erreur au niveau de l'inéquation, c'est même pas la peine de poursuivre !

Posté par
jeansebre : Norme et matrice 17-11-06 à 21:40

Ma définition de 21 21 est la bonne!
J'ai bossé dur dessus l'an dernier (leçon d'agreg interne sur les ev normés)

Posté par
robby3re : Norme et matrice 17-11-06 à 21:42

jete le ton bouquin H_aldnoer lool

Posté par
H_aldnoerre : Norme et matrice 17-11-06 à 21:42

Mais tu vois, je capte même la différence entre ta définition et celle du bouquin!

Posté par
H_aldnoerre : Norme et matrice 17-11-06 à 21:42

*pas

Posté par
H_aldnoerre : Norme et matrice 17-11-06 à 21:43

Ouai j'crois, c'est mon frere qui ma passé ça, de sa prépa !
Pff...

Posté par
robby3re : Norme et matrice 17-11-06 à 21:44

lol déja on a du mal avec les bouquins de licence 2eme année, alors ceux de prepa de ton frere on est pas sortis loooool

Posté par
H_aldnoerre : Norme et matrice 17-11-06 à 21:47


Mais si jeanseb pouvait me dire quelle différence il fait entre :
N_{\infty}(A)=max\Bigsum_{i,j}^n%20|a_{i,j}| et Sup_i \Bigsum_{j=1}^n |a_{i,j}|

Posté par
jeansebre : Norme et matrice 17-11-06 à 21:47

Ma def:

sur chaque ligne, tu additionnes les modules des coefficients

tu prends le max des résultats obtenus

Posté par
jeansebre : Norme et matrice 17-11-06 à 21:49

Ta def: ça veut rien dire, on sait pas sur quoi porte le max

Posté par
robby3re : Norme et matrice 17-11-06 à 21:50

et pourquoi ça ne porterait pas sur le mudule des coefficients aussi ???
En fait c'est quoi la différence entre le max et le sup??

Posté par
jeansebre : Norme et matrice 17-11-06 à 21:51

Ecris une matrice 3,3 et regarde ce que ca donne

Posté par
jeansebre : Norme et matrice 17-11-06 à 21:51

Max et sup c'est pareil

Posté par
jeansebre : Norme et matrice 17-11-06 à 21:52

Je dis module, en fait c'est valeur absolue (mais ca marche aussi dans C)

Posté par
H_aldnoerre : Norme et matrice 17-11-06 à 21:53

Bon moi je comprend plus rien, je zap!

Posté par
robby3re : Norme et matrice 17-11-06 à 21:54

mais si c'et la meme chose il est ou le probleme??, ils ont la meme définition...donc ça a une sens le max des valeurs absolues des coeffcients de la matrice...non??

Posté par
jeansebre : Norme et matrice 17-11-06 à 21:58

Ce qui change est la place du  i

le max (ou le sup) est le max POUR i= 1 à n des sommes POUR j= 1 à n des |aij|

Posté par
robby3re : Norme et matrice 17-11-06 à 22:00

oui d'accord et le sup c'est pas pareil??

Posté par
jeansebre : Norme et matrice 17-11-06 à 22:02

Dans ta def, on ne sait pas sur quel indice porte le sup,puisque tu as l'air de tour additionner.Il n'y a donc pas de sup.

Ecris une matrice 3 3 et regarde!

Posté par
robby3re : Norme et matrice 17-11-06 à 22:04

ahh oui d'accrod, je vien de comprendre ok je viens de piger la nuance lol,merci jeanseb.

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