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Norme matricielle
Bonjour,
Je suis en train de bosser un peu sur les normes matricielles, chose que je n'avais jamais abordée.
j'ai un problème avec ça :
"A chaque norme vectorielle p, on peut lui faire correspondre une norme matricielle p de la façon suivante :
( avec écrit sous le max :
) "
D'où ça sort ce truc ?
Merci 
Ma question est pas très claire 
En fait, est ce une définition de la norme matricielle ?
Quels vecteurs x choisit-on ?
Salut Rouliane! 
En fait dans tout espace vectoiel normé E muni d'une norme N, on peut définir la norme d'une application linéaire continue u de E dans E par :
.
On montre aisément que cette quantité existe bien pour tout u en appliquant la continuité en 0 et en utilisant la linéarité de u.
Cette norme vérifie:
Plus précisément,
est le plus grand réel M tel que pour tout x de E on ait :
Dans notre cas, l'espace E considéré est simplement IRn qui est de dimension finie, ce qui garantit la continuité de tous les endomorphismes de E.
A toute norme vectorielle p (que j'ai appelée N) on peut donc associer la norme de ton énoncé en identifiant les matrices de format (n;n) aux endomorphismes de E, via le choix d'une base (par exemple la base canonique).
OK?
Tigweg
En fait je dois y aller, je ne pense pas pouvoir me reconnecter aujourd'hui...
Bonne après-midi et bonne soirée à tous!
Tigweg
Merci Tigweg !
Je vais lire tout ça, et je viendrai poser des questions si j'en ai ( ou sur la suite )
Bonjour Rouliane
En plus des explications de tigweg, je te signale que c'est facile de prouver que l'on a aussi
|||u|||=Sup{N(u(x)) pour x décrivant la sphère unité de E (les x tels que N(x)=1). C'est souvent très pratique pour des calculs effectifs.
Merci.
Je suis en train de bosser sur l'analyse numérique, je capte toujours pas pourquoi ils nous embetent avec les normes ( Bon, c'est vrai que je m'attarde plus sur le Matlab que sur la théorie )
Je viens d'apprendre la décomposition LU, j'avais jamais vu ça
Bonjour à tous!
Camélia > A vrai dire j'ai hésité à rajouter cette formule, et finalement je ne l'ai pas fait pour ne pas embrouiller otto dès la première approche de la notion...même si, j'en conviens, ce critère est en général d'utilisation plus simple!
otto> On est bien d'accord, simplement il faut connaître pour être d'accord!
Tigweg
Je n'ai jamais entendu parler de norme d'opérateur
Et sinon, j'arrive toujours pas à voir le lien avec la norme et l'analyse numérique, pour l'instant, on en parle pas dans le cours, peut-etre ensuite.
L'analyse numérique utilise beaucoup de résultats de calcul différentiel(il en fait même quasiment partie, me semble-t-il), dont le cadre naturel est les espaces vectoriels normés.
En calcul diff, l'idée essentielle est d'approcher une fonction différentiable en un point par une application linéaire.
Il est donc naturel de s'intéresser aux propriétés des applications linéaires, et de relier leurs propriétés, notamment leur norme, à celle de l'espace vectoriel ambiant.
D'où l'intérêt (entre autres...) de cette notion de norme d'opérateurs.
Les normes p étant lesplus classiques en dimension finie, il est donc tout-à-fait légitime d'étudier les normes matricielles asociées.
Si je peux te conseiller un bouquin super et assez abordable sur le sujet : François Rouvière, Petit guide de calcul différentiel à l'usage de la Licence et de l'Agrégation, chez Cassini.
Un must!
Tigweg
Ok, merci
J'ai déjà le livre de Rouvière que j'ai pour l'instant uniquement survolé. Je vais me replonger dedans. Ca a l'air en tout cas très intéressant l'analyse numérique, j'avais fait pas mal de traitement du signal et traitement d'image sous Matlab, et là tout tourne autour des EDP apparemment.
Je vais déjà commencer par revoir les EVN, l'algèbre linéaire aussi.
Le livre de Rouvière peut vraiment m'etre utile pour l'analyse numérique ?
Non pas qu'il ne m'intéresse pas, mais je cherche à travailler en priorité ce qui me sera utile.
Salut Rouliane, je répondrais sans hésiter : OUI!
En tout cas à comprendre le fond des choses.
Maintenant tout dépend de ce que tu dois assimiler, et de tes échéances bien sûr!
Tigweg
J'ai le temps, le DESS comme,nce en septembre prochain, mais j'ai pas mal de choses à revoir : Matlab, C, Méca, Analyse numérique.
Mais je vais garder un peu de temps pour voir le Rouvière
Hello,
Je remonte ce topic parce que j'ai une p'tite question :
Quelle méthode adopter pour montrer que la fonction définie par f(x)=||Ax|| est continue sur la sphère unité ? ( où A est une matricé carré nxn ).
Je pensais montrer qu'elle est Lipschitzienne ( en fait je viens d'y penser en écrivant ce message )
L'application qui a x associe Ax est linéaire, et :
Est ce que je peux faire ça ?
cool, pour une fois que je trouve un truc tout seul !
ici, on a le droit d'utiliser que car on est sur la sphère unité, c'est ça ?
Si c'est vrai sur la sphère unité c'est vrai partout, qu'en penses tu?
si c'est vrai pour x sur la sphère unité, par linéarité et propriété de la norme, alors prend x' quelconque et regarde x=x'/||x'|| dans le cas où x' est non nul.
Le cas x' nul est trivial.
La raison pour laquelle c'est vrai est tout simplement le fait que
1- c'est la définition de la norme d'un opérateur.
2- une matrice représente un opérateur entre deux espaces de dimensions finies, et est donc continue. Il est trivial de voir qu'une application linéaire est continue ssi elle est lipschitzienne.
a+
En relisant ton message, je pense voir d'où vient ta confusion.
La norme de ||A|| est définie comme l'inf des k tels que
||Ax|| < k||x||
où x est prise sur la boule unité (si je me souviens bien).
La raison est que cet inf va nécessairement exister si A est continue.
Mais une fois ceci défini, l'inégalité est vraie partout, comme je te l'ai montré, il suffit de poser
x'=x/norme de x
a+
oui, effectivement otto, merci.
Par contre, je ne comprend pas cette phrase :
une matrice représente un opérateur entre deux espaces de dimensions finies, et est donc continue
de même, j'avais jamais vu que continue ==> lipschitzienne, mais plutot le contraire, non ?
jeanseb, ça dépend de quel norme on parle, ce dont tu parles est là norme infinie il me semble, non ?
En général c'est le contraire, mais en algèbre linéaire c'est équivalent.
Tu peux voir une matrice comme un opérateur, tout comme tu peux voir un réel comme une forme linéaire.
C'est la fameuse analogie entre E et E* en dimension finie.
Si tu as une matrice A, tu peux voir A comme l'application linéaire x->Ax
C'est en général ainsi que l'on introduit les matrices d'ailleurs.
Tu dis que si tu as une application linéaire f, et une certaine base B=(e1,e2,...,en), alors la matrice représentative de f dans B est tout simplement la matrice formée des vecteurs colonnes
(f(e1),f(e2),...,f(en)).
Il y'a un isomorphisme (isométrique ?) entre L(k^n,k^m) et Mnm(k).
Une preuve de l'équivalence serait la suivante:
Soit B'(0,1) la frontière de boule unité de R^n.
Si f est continue, alors f(B'(0,1)) est compacte.
Ainsi, sup(f(B'(0,1))=M existe et est fini.
||f(x)|| <M pour tout x tel que ||x||=1 (sauf mention contraire < indique l'inégalité large)
Soit y quelconque non nul, et posons x=y/||y||.
||f(x)|| < M
et par linéarité de f
|| f(y / ||y|| ) || < M
équivaut à
|| f(y) / ||y|| || < M
Par propriété de la norme, on peut envoyer ||y|| du coté droit et on trouve
|| f(y) || < M ||y||
et ce pour tout y non nul.
Le cas y=0 ne présentant pas d'intéret.
a+
Au fait,
ceci montre bien que f est M-lipschitzienne, puisque si tu poses y=z-w et que tu utilises la linéarité de f, tu trouves bien ce qu'il faut.
a+
Oui, et il me semble que la norme 1 c'est la max de la somme des valeurs absolues des éléments de chaque colonne
Jeanseb, utilise la commande \hspace{taille}
Par exemple, x\hspace{5mm}y donne un espace de 5 mm entre x et y :
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