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Niveau Maths sup
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Norme matricielle dite "3barres"

Posté par
leqt
01-06-11 à 21:08

J'ai écumé le forum et je n'ai pas trouvé de réponses à ma question :/ ( c'est aussi mon premier post j'ai donc quelques soucis avec laTex )
Je cherchai à faire ce sujet de l' X PC 2002 : http://www.sujets-de-concours.net/sujets/x/2002/pc/maths1.pdf

J'ai bien démontré que la norme 3 barres était une norme sur  Mp mais j'ai des difficultés à démontrer la proposition 1)b) |||MN|||<|||M||| * ||| N |||.
J'ai développé les sups mais je pense que j'ai dû manqué quelque chose.
Merci


P.S: Si quelqu'un dispose d'un corrigé de l'épreuve je suis preneur j'ai du mal à faire la partie II.

Posté par
Narhm
re : Norme matricielle dite "3barres" 01-06-11 à 22:58

Bonjour,

Il suffit pourtant d'utiliser la définition :
Pour tout y non nul, 3$ \rm \fr{||My||}{||y||}\leq |||M||| par définition et donc pour tout y, 3$ \rm ||My||\leq |||M|||\cdot ||y||.
Que ce passe-t-il pour 3$ \rm y=Nx ?

Posté par
leqt
re : Norme matricielle dite "3barres" 01-06-11 à 23:20

J'en suis venu à la même approche en relisant mon cours d'analyse
Merci

Posté par
Narhm
re : Norme matricielle dite "3barres" 01-06-11 à 23:20

De rien

Posté par
leqt
re : Norme matricielle dite "3barres" 02-06-11 à 10:57

Reup
La majoration de la série des
M^k/k! par e^|||M||| permet t'elle de conclure sur la convergence ?

Posté par
Narhm
re : Norme matricielle dite "3barres" 02-06-11 à 12:56

Oui bien sur, pour tout entier naturel n, 3$ \rm \Bigsum_{k=0}^n |||\fr{M^k}{k!}||| \leq \Bigsum_{k=0}^n \fr{|||M|||^k}{k!} \leq e^{|||M|||}.
Donc ta série converge absolument.

Posté par
leqt
re : Norme matricielle dite "3barres" 02-06-11 à 13:11

Merci
Etant en sup j'ai du mal avec les séries :p
Pour montrer que 4$f(t)=e^{tM} est continue et dérivable a t'on besoin d'étudier la convergence sur chaque segment de la série ? ( Démo analogue à 4$f(M)=e^M)
C'est une fonction à valeurs dans Mp mais qui a comme ensemble de départ R donc je ne sais pas trop si le caractère D1 de la fonction n'est pas immédiat

Posté par
Narhm
re : Norme matricielle dite "3barres" 02-06-11 à 13:39

Effectivement si tu es en Sup, ça m'a l'air bien compliqué de vouloir traiter un tel sujet.
Toutes les questions font référence à des théorèmes de Spé donc ...

Pour montrer que f(t)=exp(tM) est continue, dérivable tu peux utiliser les théorèmes sur les séries de fonctions appliquer sur chaque segement.

Posté par
leqt
re : Norme matricielle dite "3barres" 02-06-11 à 19:51

up j'ai un nouveau problème sur le problème ENS 2010 maths épreuve 2 partie III 3) (http://concours-maths-cpge.fr/fichiers.php)
le produit scalaire est défini sur C^N comment l'étendre à C^(N^2) ?
le produit scalaire se dérive t'il comme un produit de fonctions ? Merci

Posté par
Narhm
re : Norme matricielle dite "3barres" 02-06-11 à 20:24

Ça serait tellement mieux si tu pouvais redonner les énonces de tes questions. Plus de gens pourraient t'aider et ça nous éviterait de perdre du temps à aller chercher le pdf, tout relire, chercher ta question etc...

> Oui le produit scalaire se dérive comme un produit de fonctions : <a(t),b(t)>'=<a'(t),b(t)>+<a(t),b'(t)> si a et b sont des fonctions dérivables.



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