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Norme matricielle subordonnées

Posté par
Aalex00 16-11-20 à 18:54

Bonsoir à vous,

J'ai une petite question. Sur un espace vectoriel normé (disons réel) de dimension finie E, je me donne un endomorphisme u et son adjoint u*.
J'aimerai montrer (enfin si c'est vrai) que |||u|||=|||u*||| où la norme triple est une norme subordonnée à une norme sur E définie par |||u||| := \underset{x\neq 0_E}{Sup}\frac{||u(x)||}{||x||}.

Pour la norme subordonnée à la norme euclidienne on dispose d'une relation avec le rayon spectral qui permet de dire que |||u|||=|||u*|||. Mais qu'en est-il du cas général pour une norme sur E quelconque ? Est-ce vrai ?

Merci d'avance !

Posté par
carpediemre : Norme matricielle subordonnées 16-11-20 à 19:01

salut

parler d'adjoint ... don il y a un produit scalaire ...

il suffit alors (quasiment) d'écrire les définitions ...

||u(x)||^2 = <u(x) |u(x)>

||u*(x)||^2 = <u*(x) | u*(x)>

...

Posté par
Aalex00re : Norme matricielle subordonnées 16-11-20 à 19:08

Bonsoir carpediem,

D'accord merci. Peut être que je m'y prends mal mais de cette façon j'obtiens
||u(x)||^2 = <u*u(x),x>
Et si uu*=u*u alors j'ai le résultat mais c'est une spécificité des endomorphismes normaux seulement non ?

Posté par
skywearre : Norme matricielle subordonnées 16-11-20 à 20:35

carpediem, si je comprends bien la question, Aalex00 demande justement si, pour E euclidien,  cette propriété de l'adjoint est encore vérifiée pour une norme qui n'est pas forcément la norme euclidienne, c'est-à-dire la norme subordonnée au produit scalaire de E.

Si c'est bien ça, la réponse est non, et en fait cette propriété est vérifiée si et seulement si tu prends une norme proportionnelle à la norme euclidienne.

Posté par
skywearre : Norme matricielle subordonnées 16-11-20 à 20:38

skywear @ 16-11-2020 à 20:35

carpediem, si je comprends bien la question, Aalex00 demande justement si, pour E euclidien,  cette propriété de l'adjoint est encore vérifiée pour une norme qui n'est pas forcément la norme euclidienne, c'est-à-dire la norme subordonnée associée au produit scalaire de E.

Si c'est bien ça, la réponse est non, et en fait cette propriété est vérifiée si et seulement si tu prends une norme proportionnelle à la norme euclidienne.

Posté par
Aalex00re : Norme matricielle subordonnées 16-11-20 à 21:04

Bonsoir skywear,

Oui c'est exactement ça, merci !
Ah d'accords et le fait que ce soit vrai vient-il du fait que la norme subordonnée à la norme associée au produit scalaire s'exprime avec le rayon spectral, ou y a-t-il une preuve plus rapide ?
Dans le cas général ou ce n'est pas vrai je pense qu'on peut trouver des exemples qui montrent qu'on a ni |||u*||| |||u||| ni |||u||| |||u*||| ?

Posté par
skywearre : Norme matricielle subordonnées 16-11-20 à 22:45

Je ne sais pas si ça te parle, mais la preuve que je connais découle du théorème de Hahn-Banach qui permet d'écrire que pour tout endomorphisme u et pour tout x, \left \| u\left ( x \right ) \right \|=\sup_{\left \| y \right \|\leq 1}\left | \left \langle u\left ( x \right ),y \right \rangle \right |. (pour la norme euclidienne, du coup). Une fois qu'on a ça, en utilisant les définitions de la norme d'opérateur et la définition de l'adjoint on aboutit directement au résultat.

Pour trouver un contre-exemple, en vertu du résultat que j'ai énoncé plus haut, il suffit de prendre une norme non proportionnelle à la norme euclidienne. Par exemple, on peut prendre E=\mathbb{R}^2, avec le produit scalaire canonique (produit des coordonnées).  Donc ici la norme euclidienne c'est l'application (x,y) \mapsto \sqrt{x^2+y^2}. Comme autre norme non proportionnelle, on peut prendre (x,y) \mapsto |x|+|y|. Regarde ce que ça donne pour u(x_1,x_2)=(x_2,x_2) par exemple.


Pour la preuve du résultat en question, je te renvoie au deuxième post de ce thread :

Posté par
skywearre : Norme matricielle subordonnées 16-11-20 à 23:10

Après réflexion au lieu de te donner u j'aurais sûrement dû te laisser chercher un contre-exemple parmi les endomorphismes de \mathbb{R}^2 qui sont exactement les (x,y) \mapsto (ax+by,cx+dy) pour a,b,c,d \in \mathbb{R}
Si un modo passe par là pour éditer mon post...

Posté par
skywearre : Norme matricielle subordonnées 16-11-20 à 23:23

Aalex00 @ 16-11-2020 à 21:04


Dans le cas général ou ce n'est pas vrai je pense qu'on peut trouver des exemples qui montrent qu'on a ni |||u*||| |||u||| ni |||u||| |||u*||| ?


Au passage remarque que dès que l'on n'a pas l'égalité des normes subordonnées pour tout u, on ne peut pas avoir d'inégalité dans un sens ou dans l'autre car u**=u.

Posté par
Aalex00re : Norme matricielle subordonnées 17-11-20 à 09:28

Bonjour skywear,

D'accord merci beaucoup pour toutes ces précisions !

Je ne comprends juste pas ceci :

skywear

théorème de Hahn-Banach qui permet d'écrire que pour tout endomorphisme u et pour tout x, \left \| u\left ( x \right ) \right \|=\sup_{\left \| y \right \|\leq 1}\left | \left \langle u\left ( x \right ),y \right \rangle \right |. (pour la norme euclidienne, du coup).

Le théorème de Hahn-Banach permet de prolonger des formes linéaires sur un espace vectoriel, et en particulier le prolongement est continu pour les espaces vectoriels normés. Mais je vois pas comment en déduire l'égalité annoncée ?

Posté par
skywearre : Norme matricielle subordonnées 17-11-20 à 17:21

j'avais rédigé le truc et juste avant de le poster je me rends compte qu'il y a plus simple, on a pas besoin de l'égalité que j'ai postée plus haut en fait

Sauf si je dis des bêtises sans m'en rendre compte, on peut directement remarquer que \left \| u^*\left ( x \right ) \right \|^2=\left \langle u^*\left ( x \right ),u^*\left ( x \right ) \right \rangle=\left \langle x,u\left ( u^*\left ( x \right ) \right ) \right \rangle \leqslant \left \| x \right \|\left \| u\left ( u^*\left ( x \right ) \right ) \right \|\leqslant \left \| x \right \|\left \| u \right \|\left \| u^*\left ( x \right ) \right \|, donc \left \| u^* \right \|\leqslant \left \| u \right \| et puisque u^{**}=u on a directement l'autre sens.

Vu que je l'avais rédigé je poste quand même l'argument qui donne l'égalité avec Hahn-Banach au cas où ça t'intéresse :

Citation :
Pour tout z \in E, on a \left \| z \right \| = \sup_{\left \| y \right \|\leqslant 1}\left \langle z, y \right \rangle.

(le sup sans la norme absolue est le même que le sup avec norme absolue, parce que \left \langle z,-y \right \rangle=-\left \langle z,y \right \rangle, j'aurais pas dû mettre de valeur absolue ça sert à rien).

Note que le théorème de Hahn-Banach est plus précis que ce que tu as énoncé. En plus de t'assurer qu'on peut trouver un prolongement  F continu sur E d'une forme linéaire f continue  sur V sous-espace vectoriel de E, ce théorème assure aussi que l'on peut trouver un tel prolongement qui de plus n'augmente pas la norme de f, c'est-à-dire tel que \sup_{x \in E, \left \| x \right \| \leqslant 1 } \left | F\left ( x \right ) \right |=\sup_{x \in V, \left \| x \right \| \leqslant 1 } \left | f\left ( x \right ) \right |.

Il y a un sens de l'inégalité qui tu devrais pouvoir trouver seul, je te laisse essayer de voir pourquoi  \left \| z \right \|\geqslant \sup_{\left \| y \right \|\leqslant 1}\left \langle z, y \right \rangle.

Du coup, si on montre que  \left \| z \right \| \right \| = \left \langle z, y \right \rangle   pour un certain y de norme plus petite que 1, c'est terminé. C'est le théorème de Hahn-Banach (ainsi que le théorème de représentation de Riesz) qui donne ce  y.

En effet, prolongeons la forme linéaire sur \mathbb{R}z définie par  f(kz)=k\left \| z \right \| pour tout k \in \mathbb{R}. Vérifie que f est de norme 1 (au sens défini dans l'énoncé de Hahn-Banach plus haut). Avec Hahn-Banach, on obtient une forme linéaire F continue sur E de norme 1 qui vérifie en particulier F(z)=f(z)=\left \| z \right \|.
Mais par le théorème de représentation de Riesz, comme E  est euclidien (ça marche pareil en dimension infinie en supposant E hilbertien en fait), toute forme linéaire continue sur E s'écrit sous la forme F_y : x \mapsto \left \langle x,y \right \rangle pour un certain y \in E, donc on peut écrire F=F_y pour un certain y \in E qui dépend de z.


Et je suppose que parce que F_y est de norme 1,   y va aussi être de norme 1, mais j'ai la flemme de vérifier.
Si c'est le cas on dispose bien d'un y \in E de norme plus petite que 1 tel que \left \| z \right \|=\left \langle z,y \right \rangle  et c'est terminé.


Bon si on connaît ce résultat c'est tout aussi simple de l'utiliser mais s'il faut le redémontrer autant utiliser le premier raisonnement

Posté par
Aalex00re : Norme matricielle subordonnées 17-11-20 à 18:01

Bonsoirskywear,

D'accord merci beaucoup je comprends bien !

Je ne vois pas d'erreur (à mon humble niveau) dans ta version plus directe, un bon Cauchy-Schwarz et hop ! C'est bien vu. Et justement avec Cauchy-Schwarz je trouve :

skywear

Il y a un sens de l'inégalité qui tu devrais pouvoir trouver seul, je te laisse essayer de voir pourquoi  \left \| z \right \|\geqslant \sup_{\left \| y \right \|\leqslant 1}\left \langle z, y \right \rangle.

Et encore avec Cauchy-Schwarz et évaluation de F_y en y on a
skywear

Et je suppose que parce que F_y est de norme 1,   y va aussi être de norme 1


Merci bien !


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