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Norme p et Norme infini

Posté par
romsmad 26-09-08 à 23:20

Bonjour, qq'un aurait t'il une idée comment montrer que

( (Xi)p)1/p i variant de 1 à n tend vers Sup | Xi |  sur [| 1, n |] quand p tend vers +

j'ai deja reussi a majorer la somme par un truc qui tend vers le Sup, mais le probleme j'arrive pas a le minorer de meme, qq'un aurait t'il une idée?

Posté par
Ju007re : Norme p et Norme infini 26-09-08 à 23:42

Bonjour,

Mmm il me semble qu'il faut d'abord considérer le i0 tel |Xi0| = sup |Xi|. Puis on fixe epsilon > 0.
Et tu minores brutalement
\sum (X_i)^p \geq (X_{i0} - \epsilon)^p = (sup |Xi| - \epsilon)^p.

Pour info, en dimension infinie, tu dois t'intéresses au cas fini et que tu utilises ensuite le lemme de Fatou. (mais j'imagine que tu ne l'as pas vu)

Posté par
romsmadre : Norme p et Norme infini 26-09-08 à 23:46

je vois pas trop comment tu fais ta minoration

Posté par
scrogneugneure : Norme p et Norme infini 26-09-08 à 23:48

Salut !

Il faut considérer un indice j tel que |x_j|=max_{1\le i\le n}|x_i|=||x||_{\infty}

Alors |x_j|^p \le \Bigsum_{1\le i\le n}|x_i|^p \le n|x_j|^p

Reste à passer à la puissance 1/p

Posté par
romsmadre : Norme p et Norme infini 26-09-08 à 23:49

oui ça c'est bon je vous ai dis que g reussi a majorer la somme, mais il faut la minorer egalement

Posté par
scrogneugneure : Norme p et Norme infini 26-09-08 à 23:51

En passant à la puissance 1/p, on a : ||x||_{\infty} \le ||x||_p \le n^{1/p}||x||_{\infty}

Posté par
romsmadre : Norme p et Norme infini 26-09-08 à 23:52

ah oui c vrai je suis bete merci beaucoup

Posté par
Ju007re : Norme p et Norme infini 26-09-08 à 23:53

Bah tes Xi sont forcément positifs OK ? (sinon on peut pas mettre à l'exposant p)

Donc pour i différent de i0 tu minores par 0.

En fait je dis n'importe quoi, tu n'as pas besoin des epsilons.

Bref pour i différent de i0, Xi > 0.

Donc \sum(X_i)^p \geq 0 + 0 + .. + 0 + (X_{i0})^p + 0 + .. = (X_{i0})^p = (sup(X_i) )^p .

C'est mieux ? (excuse-moi d'avoir compliqué pour rien)

Posté par
Ju007re : Norme p et Norme infini 26-09-08 à 23:53

Trop tard

Posté par
Yotare : Norme p et Norme infini 14-11-08 à 15:07

Est-ce que quelqu'un aurait le même genre de démonstration mais pour les espaces de fonctions (c'est a dire que la norme p tend vers la norme infini ?)

Merci

Posté par
Nightmarere : Norme p et Norme infini 14-11-08 à 15:26

Salut

Soit 3$\rm i\in \{1,...,n\} tel que 3$\rm Max_{1\le j\le n} a_{j}=a_{i}

On a :
3$\rm ||(a_{1},...,a_{n})||_{p}=a_{i}||\(\frac{a_{1}}{a_{i}},....,\frac{a_{n}}{a_{i}}\)||_{p}

Conclus en passant par la définition de la norme p


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