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norme p sur R^n
J'ai un problème avec l'exercice suivant:
Fixons un entier n 
*. Soit p un entier strictement supérieur à 1. Pour tout vecteur x=(x1,...,xn) de 
n, notons :
n
||x||p = (
|xk|p)1/p
k=1
1) Montrer que ||.||p est une norme sur n.
2) Soit x n s'écrivant x=(x1,...,xn). Montrer que ||x||k 
||x||
lorsque k
3) Montrer que : 
x n, ||x||p' 
||x||p.
4) Montrer que les normes ||.||p et ||.|| sont équivalentes.
5) Soit F 
n un sous espace vectoriel normé de E=n.
a) Soit x n \ F. Montrer qu'il existe un réel r strictement positif tel que B(x,r) E \ F, ou B(x,r) désigne la boule de centre x et de rayon r pour la norme ||.||.
b) Montrer que F est un fermé pour la norme |.||.
c) Montrer que F est fermé pour la norme ||.||p.
J'arrive à toute les questions sauf à la 3) et à la 5)a) .
Pouvez-vous m'aider ? Merci d'avance
Bonjour,
j'ai oublié de préciser dans la question 3) qu'on nous conseille de considérer en premier le cas ||x||p=1
ah je croyais que tu savais que c'est un fermé. (en général c'est du cours...mais ça dépend du cours)
Sais-tu que F est défini par l'annulation de formes linéaires ? si oui c'est facile de voir que c'est un fermé.
Tu sais qu'il a une base alors ? e(1),..., e(p) base de F qu'on complète en e(p+1),..., e(n) base de Rn.
Alors F est l'ensemble des vecteurs de la forme .
F est l'ensemble des zéros des fonctions f j de Rn dans R définie par fj(x) = xj (p < j ) OK ?
fj est continue (c'est une fonction polynôme) donc l'image réciproque de 0 est un fermé **
** si tu ne connais pas cette propriété tu peux faire avec des suites pour montrer que f est fermé
Comment sait-on que les fj sont des fonctions polynômes et est-ce normal au vu des questions 5)b)et 5)c) de ne pas utiliser la définition de la norme infini?
on peut sans doute utiliser la norme infinie mais ça marche pour toutes les normes.
xj c'est un polynôme de degré 1 non ?
pour la 3 tu as oublié d'écrire p' < p ., suis l'indication : si la norme p de x vaut 1 alors toutes les coordonnées de x sont de valeurs absolues inférieures à 1 et c'est facile ensuite.
Bon tu as démontré que si p' < p , ll x llp' < 1 quand llxllp = 1 .
Alors soit y quelconque non nul alors y/llyllp est de norme p égale à 1 ....je te laisse finir.
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