Regarde les exponentielles exp(nx), pour n entier.

J'ai regardé avec les expo du type exp(nx),
Si x > 0 ça diverge, donc on ne peut rien conclure.

Si x<0, on a bien D(fn) converge vers D(f), et du coup j'arrive pas à voir comment ça peut m'aider à conclure

Je comprends pas le sens de ta remarque.
Si D est l'opérateur de dériavtion alors D(exp(n.))=nexp(n.), ce qui empeche D d'etre continue pour n'importe quelle norme.

Connais tu le critère suivant pour une application linéaire entre espaces normés pour etre continue: T: F->E est continue ssi il existe une constante C tel que |Tf|<= C|f| pour tout f de F (avec ici à droite la norme de F et à gauche la norme de E).
Penses que ceci puisse etre satisfait avec D, étant donné que l'on a une famille de fonctions e_n (non nulles), telles que D(e_n)=ne_n?

Ah !

D(exp(nx)) = nexp(nx) <= C exp(nx) ?
n<= C

Impossible.

Merci pour ton aide